Определение предела функции. Критерий Коши

Пусть - числовая функция, определенная на множестве X – подмножестве R, а - предельная точка множества X.

Определение 1. (Определение предела по Коши) Число b называют пределом функции при , если

(1).

Заметим, что множество точек, удовлетворяющих условию , называется -окрестностью точки и обозначается , т.е. можно записать:

: .

Если все эти требования выполняются, то пишут: Если такого числа b не существует, то говорят, что функция не имеет предела в точке .

Определение 2. (Определение предела по Гейне) Число b называется пределом функции при , если для любой последовательности , сходящейся к , соответствующая последовательность значений сходится к b:

(2)

Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

□ Эквивалентность двух утверждений А и В означает: если верно А, то верно В и, наоборот, если верно В, то верно А.

1) Пусть b является пределом функции в точке в смысле определения 1, т.е. справедливо (1). Рассмотрим некоторую последовательность , сходящуюся к :

,

но тогда по определению 1 для последовательности будет выполняться неравенство , т.е. т.е. число b является пределом функции в смысле определения 2.

2) Пусть b является пределом функции в смысле определения 2. Покажем, что b является пределом и по определению 1.

От противного. Пусть b не является пределом по определению 1, т.е. .

Выберем последовательность , сходящуюся к нулю. Тогда

. (3)

Но, по предположению

. (4)

Из неравенства (3) следует, что (так как ), а из неравенства (4) следует, что последовательность не сходится к числу b. Это противоречит, тому, что b является пределом функции в точке в смысле определения 2. ■

Теорема 2. (О единственности предела) Если имеет предел , то этот предел единственный.

□ От противного. Предположим, что существуют два предела и т.е. и . Возьмем произвольную последовательность , стремящуюся к . По определению 2 последовательность должна сходиться с одной стороны к , а с другой – к . Что невозможно, т.к. числовая последовательность имеет только один предел по теореме о единственности предела последовательности. ■

Пример 1. . Область определения . Найти предел .

Рассмотрим произвольную последовательность и найдем . Тогда по теореме об арифметических операциях над числовыми последовательностями:

.

Пример 2. . Найти предел в точке x=0.Область определения .

Возьмем две последовательности и (n=1,2,3,…).

Ясно, что ,

Поэтому . По определению 2 это означает, что предела в точке функция не имеет.

Пример 3. Докажем, что функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке .

Возьмем любую точку и любые две последовательности, сходящиеся к точке . Рассмотрим последовательность рациональных чисел : . Тогда Рассмотрим последовательность иррациональных чисел : . Тогда Т.е. , а отсюда следует, что предел в точке не существует.

Теорема 3. (Критерий Коши) Для того, что функция имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы

. (5)

Т.е. при выполнении неравенств и для произвольных будет выполняться неравенство .

□ Необходимость. Пусть существует предел . Это означает, что

.

Возьмем , тогда эти два неравенства выполняются одновременно. Проверим условие (3):

Получаем, что условие (5) выполняется и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполняется условие (5). Рассмотрим произвольную последовательность . Покажем, что - фундаментальная последовательность. Так как последовательность сходится, то можно записать и , где . Тогда из (3) следует: . Это означает, что последовательность - фундаментальная, а всякая фундаментальная последовательность сходится, по критерию Коши для последовательностей. ■

Поиск по сайту: