Функции одной вещественной переменной

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ИХ ПРЕДЕЛЫ

Функции одной вещественной переменной

Понятие функции - одно из самых важных понятий в математике и ее приложениях. В реальном мире, т.е. физических, биологических, химических, экономических и других процессах и явлениях обычно одна характеристика (величина) зависит от другой величины. В математических моделях это приводит к функциональным зависимостям.

В первой главе было дано понятие функции как отображения множества X на Y, т.е. . В этой главе будут изучаться только функции, областью определения и областью значений которых являются некоторые множества вещественных чисел, т.е. функции или , где – область определения, а Y – множество значений функции: .

Независимая переменная x и зависимая переменная y являются вещественными (действительными) числами, а сами функции – функциями одной вещественной переменной или числовыми функциями. Над функциями, принимающими вещественные значения, т.е. над числовыми функциями, можно производить арифметические операции. Пусть и - две числовые функции, заданные на множестве , - некоторое число, тогда функции определяются как функции, принимающие в каждой точке соответствующие значения .

Числовая функция, определенная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу), если ее множество значений Y ограничено сверху (снизу), т.е. если

Если ограничена и сверху и снизу, то она называется ограниченной на этом множестве, т.е.

.

Наименьшая из всех верхних граней множества значений называется точной верхней гранью на множестве X и обозначается . Наибольшая из всех нижних граней множества значений называется точной нижней гранью на множестве X и обозначается . Согласно свойствам и (глава I) функция ограничена сверху (снизу) тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.

Существуют различные способы задания функции вещественного переменного.

Аналитический способ. Функция задается в виде формулы, в которую входят некоторые специальные обозначения функций, арифметические операции, суперпозиции двух и более функций, предельный переход. При этом, во-первых, под областью определения понимается множество вещественных чисел, для которых формула имеет смысл (если нет специальных оговорок), а, во-вторых, в процессе всех вычислений получаются только действительные числа и результат вычислений по формуле есть значение функции в данной точке x. Например:

Иногда функция может задаваться с помощью нескольких формул:

Функция Дирихле:

Графический способ. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами . Такой способ задания функции имеет приближенный характер, так как измерения можно производить с некоторой точностью. Часто используется на практике, например, показания осциллографа, самописца, изображения на экране монитора и т.д. Например:

Табличный способ. Функция задается в виде таблицы значений независимой и зависимой переменных. Таким способом задаются специальные функции, которые нельзя задать формулой. Используется в опытах, экспериментах и т.п.

Компьютерный способ. Функция задается в виде программы для калькулятора, компьютера.

Основные элементарные функции:

Всякая функция, которая может быть задана явным образом с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией. В примерах функции не являются элементарными, потому что задаются кусками.

Все элементарные функции делятся на классы:

Многочлены (полиномы ):

Если , то число n называется степенью многочлена.

Рациональные функции (рациональные дроби):

.

Иррациональные функции (содержат степени рациональных алгебраических функций с рациональными показателями), например:

.

Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся рациональными и иррациональными. Все тригонометрические, логарифмические, обратные тригонометрическим функции являются трансцендентными.

Предел функции

Поиск по сайту: