Определение непрерывных функций и точек разрыва

Определение 6. Пусть функция определена на множестве и выполняются условия:

а) - предельная точка множества Х;

б) ;

в) .

Тогда функция называется непрерывной в точке , при этом считается, что произвольным образом.

Если - изолированная точка множества, т.е. существует окрестность точки , в которой нет других точек множества и определена в , то считается непрерывной в этой точке. Например, функция . Её область определения состоит из изолированных точек, следовательно, в области определения непрерывна.

На языке « » условие в) определения непрерывной в точке функции можно записать:

.

Действительно, это полностью повторяет определение предела функции в предельной точке , равного .

Если - изолированная точка, то при достаточно малом единственным элементом множества Х, удовлетворяющим условию , будет точка , где выполняется условие .

Равенство (в) в определении (6) можно интерпретировать и по-другому. Пусть - предельная точка множества Х. Возьмем . Величина называется приращением аргумента в точке . Тогда, если значение функции в точке есть , то в точке значение функции .

Разность между этими значениями называется приращением функции:

. (6)

Тогда, если в определении обозначить , то при произвольным образом. Так как , то ее можно внести под знак предела:

или . (7)

Т.е. - непрерывная в точке , если выполняется условия а), б) определения 6, а также равенство (7), т.е. если приращение функции в точке , соответствующее приращению , стремится к нулю при .

Пример 9. Доказать, что непрерывна в любой точке области определения.

Область определения функции ,т.е. все точки множества предельные и принадлежат этому множеству. Проверим условие в) по формуле (7).

;

;

.

Поэтому функция непрерывна в любой точке х.

Определение 7. Функция называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение 8. Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности. Точка , в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Определение 9. Пусть определена в окрестности точки , за исключением может быть самой , тогда:

а) точка называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный предел в точке , но он не равен значению функции в этой точке, т.е. ;

б) точка называется точкой разрыва I рода, если существуют односторонние (конечные) пределы в точке , но они не равны между собой:

;

в) точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке не существует или равен бесконечности.

Пример 10. Функция имеет в точке x=2 устранимый разрыв.

Пример 11. Функция имеет в точке x=0 разрыв 1 рода

Пример 12. . Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем эту точку на непрерывность.

, так как ;

, так как ;

.

В точке x=0 разрыв 1 рода.

Пример 13. Функция в точке x=-1имеет разрыв 2 рода, т.к.

Пример 14.Функция не определена в точке x=1.

, так как ;

, так как .

3. 3.2 Свойства функций непрерывных в точке

Теорема 7.Пусть и – функции с общей областью определения X, непрерывны в точке х₀. Тогда в этой точке непрерывны их сумма, разность, произведение и частное.

Справедливость теоремы следует из определения 6 и арифметических свойств пределов функций.

Теорема 8.Пусть непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , тогда суперпозиция функций непрерывна в точке .

□ Так как непрерывна в точке , следовательно, . Так как непрерывна в u₀, следовательно, . Тогда

. ■

Из теоремы следует , т. е. можно переходить к пределу под знаком функции.

Пример 15.Функция непрерывна . Действительно, в этой функции производится конечное число арифметических действий на непрерывную функцию и постоянными числами.

Пример 16.Функциянепрерывна , т. к. это суперпозиция двух непрерывных функций и .

– непрерывна, т. к.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Теорема 9.(о локальной ограниченности непрерывной функции) Пусть функция определена в окрестности точки x₀ и непрерывна в точке x₀, тогда существует окрестность ,в которой функция ограничена.

□ По определению 6, если непрерывна в точке x₀, то при .Фиксируем , тогда , ( , т. е. ограничена) при . ■

Теорема 10.(о сохранении знака непрерывной в точке функции) Пусть функция определена в окрестности точки х₀, непрерывна в точке х₀ и , то , в которой сохраняет знак.

□ Пусть . По определению 6 имеем:

при .

Возьмем ,

следовательно, , т. е. сохраняет знак. ■

Поиск по сайту: