Функция, обратная показательной, называется логарифмической и – показательная функция , поменяем местами x и y, получаем – это и есть логарифмическая функция.
Знаем, что графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Воспользовавшись этим свойством изобразим графики логарифмической функции при a> 1 и a <1
Свойства
1.
2.
2. при
Свойства (1 – 3) являются общими свойствами логарифмических функций и не зависят от основания (больше 1 или меньше 1).
Остальные свойства рассматриваются в зависимости от основания
a > 1
3. Функция монотонно возрастающая
4. При
5. При
большему числу соответствует и больший логарифм
0 < a < 1
4. Функция монотонно убывающая
5. При
6. При
большему числу соответствует меньший логарифм
Используя свойства логарифмической функции (свойства логарифмов), определите знак числа.
1.
2.
3.
4.
Ответы:
1. > 0
2. < 0
3. < 0
4. > 0
Сравните свои результаты.
Самостоятельно:
Смотрим на основание (а 1 или а 1), а затем на число (х 1 или а х 1) и делаем вывод!
Рекомендуемая литература:
1. Математика. Базовый курс / Гусев и др. – СПО: Москва, 2010. – Глава 10, 79-89.
2. Математика: Учебник / Под ред. Н. В. Макаровой. – М.: для техникумов, 2009 –768с.
Самостоятельная работа № 7
Задание: Разобрать теоретический материал и привести примеры степенных функций с положительным и отрицательным действительным нецелым показателем.
Цели: восстановить умения читать графики функций, вспомнить определения возрастания и убывания, изучить свойства степенной функции во всех ее разновидностях, определение и свойства взаимно обратных функций, познакомить с графиками различных (в зависимости от показателя степени) видов степенной функции.
Методические рекомендации:до начала изучения теоретического материала восстановите умение читать графики функций. С этой целью ответьте на вопросы: область определения, множество значений, четность и нечетность, возрастание и убывание функций. Вспомните определение возрастания и убывания функции. Выпишите в тетрадь свойства показательной функции. Обратите внимание, что при построении графика степенной функции, все графики проходят через точку с координатами (1;1), поэтому построение необходимо начинать с построения на координатной плоскости этой точки.
Ход выполнения работы
Вспомнить свойства степени с рациональным показателем.
для натурального n
– степень; a – основание степени; n – показатель степени.
Для степени с рациональным показателем n:
(прочесть свойства словами, а также справа налево)
Обобщим понятие степени
Определение: Пусть действительное число записано в виде бесконечной десятичной дроби, и пусть , , последовательность его десятичных приближений. Тогда для любого действительного числа a > 0 степень определяется равенством
а) Пусть a > 1 и , например . Степень означает такое число, которое больше всякой степени , но меньше всякой степени , где и – любые рациональные приближённые значения числа , взятые с недостатком и избытком.
С недостатком
С избытком
б) Пусть a < 1, но , например . Тогда под степенью разумеют такое число, которое меньше всякой степени , но не больше всякой степени . Т. е. есть число, меньшее каждого из чисел ряда , но большее каждого из чисел ряда . Таким образом, если иррациональное число заключено между двумя рациональными числами и , то степень заключена между степенями и тогда, когда a > 1, и тогда, когда a < 1.
в) Пусть a > 1, a < 1 и , например .
Тогда выражению придают тот же смысл, какой имеют степени с отрицательным рациональным показателем
Таким образом, можно сказать, что все свойства показателей рациональных применимы и к показателям иррациональным
И значит, записанные выше свойства степени с рациональным показателем справедливы для степени с любым действительным показателем (прочесть свойства словами ещё раз).
Вычислить
1)
воспользуемся свойствами степени
2)
Решение:
Самостоятельно и сверьте с ответом:
Функция вида называется степенной функцией.
x – аргумент (основание степени)
n – показатель степени.
Рассмотрим графики функций при
При n > 0
n = 1 y = x
; ;
При n < 0
; ;
Отметим свойства общие для степенных функций:
1) при функция возрастающая
2) при функция убывающая
Применение: используя графики степенных функций можно графически решать некоторые алгебраические уравнения.
Например
Корни приближённые, но другим способом это уравнение решить нельзя!