Известны следующие формы математического описания непрерывных систем: дифференциальными уравнениями, переходными функциями, интегральными и спектральными преобразованиями, а также две формы описания дискретных систем: разностными уравнениями и Z-преобразованием
Линеаризация уравнений движения.
Работу любой автоматической системы в установившемся и переходном режиме можно описать, использовав дифференциальные уравнения, которые применимы для описания многих явлений природы и, в частности, процессов преобразования и передачи массы или энергии. У реальных элементов и систем связь между входными и выходными величинами, как правило, нелинейная, общее уравнение системы оказывается нелинейным, а аналитическое решение нелинейных уравнений возможно только в редких частных случаях. Поэтому полученные нелинейные уравнения элементов системы необходимо линеаризовать. Линеаризация уравнений — это замена точного нелинейного уравнения приближенным линейным.
МОДЕЛИ ТИПА «ВХОД-ВЫХОД»Математические модели (1.1), (1.2) описывают взаимосвязи между переменными состояния системы, поэтому их называют внутренними. Модели, отражающие зависимость между входными и выходными сигналами системы, называют внешними.
Пусть рассматривается линейная система с одним входом и одним выходом, процессы в которой описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнением л-го порядка
(1.3)
где u(t), u(q)(t) — входной сигнал системы и q= 1, т его производных; y(t), ym(t) — выходной сигнал системы и к = 1, пего производных. Применив к этому уравнениюоператор дифференцирования Коши D= d/d/, получим операторное представление уравнения системы:
Запишем это представление в иной форме у = B(D)/A(D)u, где обозначено
Выражение H(D) — B(D)/A(D) называют операторной передаточной функцией системы, а уравнение y(t) = H(D)u(t)(1.4) операторной или внешней моделью системы.
Полином A(D) называют характеристическим многочленом системы, его корни — полюсами или характеристическими числами системы, а корни полинома B(D) — нулями системы.
Представление внешней модели в частотной области позволяет осуществить преобразование Лапласа. Пусть лапласовы преобразования входного и выходного сигналов:
Выражение H(s) называют передаточной функцией системы.
В теории автоматического управления широко применяется операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. В операторной форме дифференциальные уравнения приобретают более простой вид, уменьшается объем записи, а при исследовании САУ во многих случаях сокращаются промежуточные математические преобразования. Функции независимой переменной (обычно t)- x (t), y (t) в дифференциальных уравнениях заменяются их изображениями по Лапласу.
Метод преобразования Лапласа применяется для упрощения решения систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Прямое преобразование заданной системы уравнений приводит к более простым уравнениям, которые являются уже не интегро-дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. Эта более простая система уравнений решается относительно изображения искомой функции, по которому затем отыскивается искомое решение заданной системы уравнений с помощью обратного преобразования Лапласа.