Дифференциальные уравнения теплопроводности в твердом теле

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для изотропного твердого тела в декартовой системе координат (установлен Ж.Б. Фурье в 1822 г.) имеет вид:

Если температурное поле стационарное – имеем дифференциальное уравнение Пуассона:

При отсутствии внутренних источников теплоты, когда тепловыделение W равно нулю, имеем дифференциальное уравнение Лапласа:

Дифференциальные уравнения Фурье, Пуассона и Лапласа могут быть
двумерными, когда температура зависит от двух любых координат, и одномерными, когда температура зависит только от одной координаты пространства.

Теплопроводность через однослойную и многослойную плоскую стенки при граничных условиях первого рода

Рассмотрим плоскую стенку толщиной δ. Пусть на левой поверхности стенки поддерживается температура t₁, а на правой температура t₂. Теплопроводность λ материала стенки практически постоянна. Внутри стенки нет источников теплоты. Требуется определить температурное поле в стенке и плотность теплового потока q.

Согласно закону Фурье, тепловой поток проходящий через стенку, прямо пропорционален поверхности, разности температур t₁ и t₂ и обратно пропорционален толщине δ. Тогда

Плотность теплового потока q (Вт/мК) определяют из выражения

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ (м²К/Вт) - термическим сопротивлением (R_λ) теплопроводности.

Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую однослойную стенку

Передача теплоты может осуществляться через многослойную плоскую стенку. Примером может служить теплоизоляционное ограждение стационарных холодильных камер. Рассмотрим определение теплового потока теплопроводностью через многослойную стенку (рис. 4.4).

Схема передачи теплоты теплопроводностью через плоскую многослойную стенку

В этом случае термическое сопротивление многослойной стенки определится как сумма термических сопротивлений всех слоев:

R_λ =δ/λ₁+δ₂/λ₂+…+δ_n/λ_n

Плотность теплового потока равна

Распределение температур в пределах каждого слоя – линейное, однако в различных слоях угол наклона температурной прямой отличается: более резко изменяется температура в том материале, который является лучшим теплоизолятором или имеет меньшее значение λ.

Поиск по сайту: