Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода Мо — значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду — вариант, имеющий наибольшую частоту.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:
,
- нижняя граница модального интервала; - модальный интервал; — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно). Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
Медиана Ме — это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:
(5.17)
где - нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал; - половина от общего числа наблюдений; сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; — число наблюдений в медианном интервале.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.
Билет 10
Вариация— это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Показатели вариации, характеризуют отклонения отдельных значений от общей средней.
К абсолютнымпоказателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:
.
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака.
Среднее линейное отклонение dпредставляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ( ).
Для несгруппированных данных , (5.18)
где n – число членов ряда;
Для сгруппированных данных , (5.19)
где — сумма частот вариационного ряда.
Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
§ простая дисперсия для несгруппированных данных
,
§ взвешенная дисперсия для вариационного ряда
.
Дисперсия позволяет оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.
Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
§ для несгруппированных данных
,
§ для вариационного ряда
.
Билет 11
Вариация— это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Показатели вариации, характеризуют отклонения отдельных значений от общей средней.
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Характеризует однородность совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.
Относительный размах вариации.Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней
Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.
Билет 12
Виды дисперсий: обшей, межгрупповой и внутригрупповой, средняя из внутригрупповых.
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия по формуле.
общая дисперсия для несгруппированных данных
,
взвешенная дисперсия для вариационного ряда
.
Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна:
,
где - численность единиц в группе.
Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.
Она равна:
;
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий :
.
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью — неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.