ЛЕКЦИЯ 20. УРАВНЕНИЯ ХОЛОЭЛЛИПСОМЕТРИИ ДЛЯ ОДНОГО И ДВУХ ОПТИЧЕСКИ ИЗОТРОПНЫХ ПОГЛОЩАЮЩИХ СЛОЁВ НА ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ.
Возможность параллельного определения в режиме in situ трёх эллипсометрических параметров объекта (rp, rs и D) следует из законов взаимодействия поляризованного света с оптическими элементами прибора. В общем случае измерений интенсивности основных и опорных пучков имеем 8 неза-висимых отсчётов для текущих измерений in situ и 8 отсчётов для предвари-тельных измерений при неизменяемых расстановке и размещении элементов в обоих измерительных каналах прибора, то есть имеем 16 величин, опреде-ляемых экспериментально. Регистрируемые пучки в свою очередь несут па-раллельно информацию, описываемую 18 параметрами, причём фазы (dp и ds) комплексных амплитудных коэффициентов отражения rp* и rs* для основного и опорного объектов и фазы (gp и gs) комплексных амплитудных поляризационных аппаратных функций прибора Ap* и As* для линейно поляризованных p- и s-компонент потока света в основном и опорном измерительных каналах проявляются в плане теории не в отдельности, сами по себе, а через соответ-ственные разности D, Dо и DА этих фаз. Понятные требования конструктив-ного сходства элементов измерительных каналов снижают число внутренних параметров потоков света в приборе уже до семи. Параллельно измеряют выходные электрические сигналы Vи1, Vи2, Vи3, Vи4 от информационных и Vо1, Vо2, Vо3, Vо4 от опорных пучков света и на их основе вычисляют относительные параметры выходных сигналов в виде:
p = [Vи1(и2) /Vо1(о2)]1/2 (20.1-1)
s = [Vи1(o1) /Vи2(о2)]1/2 (20.1-2)
q = │(Vи3 – Vи4)│/(Vи3 + Vи4) (20.1-3)
u = │(Vo3 – Vo4)│/(Vo3 + Vo4) (20.1-4)
Для рассматриваемого здесь случая основные уравнения холоэллипсо-
метрии, имеющие в целом принципиальное методологическое значение,
получаем на основе общего электродинамического подхода к взаимодействию поляризованных волн с оптическими элементами прибора, а также по-нятных соображений о конструктивной и функциональной идентичности со-ответственных оптических и электроизмерительных элементов прибора в его измерительных каналах и о взаимном расположении светоделительных плос-костей в светоделителях. Эти уравнения холоэллипсометрии для изотропной поглощающей плёнки на изотропной подложке представляют собой, во-первых, соотношения для модулей rp и rs комплексных амплитудных коэффициентов rp* и rs* линейно поляризованных p- и s-компонент потока света на объекте:
(здесь индекс «э» внизу отвечает замене основного объекта на пути основ-ного потока света эталонным объектом, идентичным опорному, для учёта ап-паратных функций прибора, а параметры rop и ros есть модули комплексных амплитудных коэффициентов отражения rop* и ros* для линейно поляризован-ных p- и s-компонент опорного потока света на опорном объекте); во-вторых, автоматически включаемые соотношения для известных в эллипсометрии модулей rи и rо относительных комплексных амплитудных коэффициентов отражения rи* и rо* для основного (и) и соответственно опорного (о) объектов:
rи(о) = Vи(о)1/Vи(0)2 (20.4).
в-третьих, соотношения для фазовых эллипсометрических параметров D и Dо основного и соответственно опорного (о) объектов в виде:
sin D = (1/2)(rи + rи–1)[(Vи3 – Vи4)/(Vи3 + Vи4 )] (20.5-1). . sin Dо = (1/2)(rо + rо–1)[(Vо3 – Vо4)/(Vо3 + Vо4 )] (20.5-2) .
Последние соотношения (20.5-1) и (20.5-2) имеют место при надлежащей настройке поляризационных компенсаторов, размещаемых по схеме ПОКА (PSCA) на входе анализитора эллипсометра выполнением вспомогательных опытов до проведения основных измерений. Разности фаз DАИ и DАО для линейно поляризованных p- и s-компонент основного информационного (и) и вспомогательного опорного (о) потоков излучения при их взаимодействии с оптическими элементами прибора на всём пути от источника света до фотоприёмников подбирают специально. Для этого основной контролируемый объект заменяют эталонным объектом, который идентичен опорному, и устанавливают компенсаторы так, чтобы они давали сдвиги по фазе для ортогонально поляризованных пучков света, равными (p/2). Отклонения сдвигов фаз от значения (p/2) для опорного объ-екта при измерениях in situ служат согласно соотношению (20.5-2) мерой фазовой стабильности работы прибора в режиме in situ. Отметим, что при отсутствии опорного объекта для эллипсометрических параметров в опорном пучке выполняются соотношения: rop = ros = 1 и Dо = 0. . .
Основные уравнения холоэллипсометрии (20.2)–(20.5) для рассмотренного варианта следуют из общего электродинамического подхода и дают основу для осуществления метода параллельного и быстрого определения массива эллипсометрических параметров объекта в режиме in situ независимо от априорных допущений о конкретных значениях его параметров. Они задают и логику схемотехнической организации микропроцессоров для получения при контроле или измерениях in situ относительных выходных сигналов (20.1) вместо использования в алгоритме расчётов параметров непосредственно измеряемых выходных сигналов Vи1, Vи2, Vи3, Vи4 от информационных и Vо1, Vо2, Vо3, Vо4 от опорных пучков света. Такая схемотехническая орга-низация обработки измерений диктуется требованием иметь достаточную устойчивость алгоритма счёта к экспериментальным погрешностям и флуктуациям сигналов при контроле процессов на объекте в масштабе реального времени. Относительные параметры (20.1) позволяют исключить неопреде-лённости, обязанные отсутствию при измерениях in situ информации о пада-ющей на вход прибора интенсивности потока света и аппаратных функциях самого прибора, включая динамическую (вольт-ваттную) чувствительность приёмно-усилительных частей прибора, исключить влияние на результаты нестабильностей в интенсивности потока света на входе прибора, обязанные флуктуациям (а) плотности полей в источнике света и (б) свойств окружаю-щих объект сред, например, из-за дрейфа температуры, давления, влажности атмосферы, рассеянного высокочастотного или ультрафиолетового излуче-ния и «плавания» режимов фотоприёмников и усилителей электрических сигналов. Разностные сигналы (Vи3 – Vи4) и (Vо3 – Vо4) позволяют подавить «когерентные» шумы, обязанные полям излучения в основном и опорном потоках света. Микропроцессор обеспечивает включение в него блока посто-янной памяти для записи, хранения и последующего использования парамет-ров аппаратных функций холоэллипсометра и других параметров, получае-мых на основе предварительных вспомогательных опытов. . . Пусть модули комплексного амплитудного коэффициента отражения rpд и rsд и коэффициента пропускания tдр и tдs светоделителя для потоков света с линейными р- и s-поляризациями в опорном и информационном каналах соответственно одинаковы. Тогда сигнал Vи1 для информационного пучка света с линейной р-поляризацией:
Vи1 = Dr2pдr2pA2pIо (20.6).
(D – вольт-ваттная чувствительность фотоприёмников, Ap – амплитуда ком-плексной аппаратной функции прибора A*p для компоненты потока света с линейной р-поляризацией, Iо – интенсивность на входе прибора); сигнал V01 для опорного потока света р-поляризации:
Vо1 = Dr2pдr2оpA2pIо (20.7).
сигнал Vи2 для основного пучка s-поляризации:Vи2 = Dr2sдr2sA2sIо (20.8).
(As – амплитуда комплексной аппаратной функции прибора A*s для потока. света с линейной s-поляризацией); сигнал Vо2 для опорного пучка s-поляри-зации: Vо2 = Dr2sдr2оsA2sIо (20.9). .
Затем находим отношение (Vи1/Vо1), используя (20.6) и (20.7) и отношение (Vи2/Vо2), используя (20.8) и (20.9); искомые модули rp и rs коэффициентов отражения слоистой структурой компонент падающего на неё потока света с линейными р- и s-поляризациями согласно (20.2) и (20.3) при известных на основе предварительных опытов коэффициентов отражения roр и ros для пуч-ков в опорном канале измерений, внесённых в банк данных. Далее сигналы Vи3 и Vи4 от основных и сигналы Vо3 и Vо4 от опорных пучков с линейными поляризациями, повёрнутыми на 45º влево (+) и вправо (–) относительно поляризации предшествующей системы (взят случай линейных поляризационных призм, используемых как анализаторы состояния поляризации света и повёрнутых своими азимутами относительно друг друга на угол 45º): .
где относительные коэффициенты отражения основного rи = (rp/rs) = (Vи1/Vи2) и опорного rо = (Vо1/Vо2) объектов даны формулами (20.4); параметр а поляризационной аппаратной функции прибора задан как:
а = (Aptpд/Astsд) (20.17)
и фазовый параметр Do: Do = DA + Dt (20.18)
Определяя эллипсометрический параметр D объекта, выполняем расчёт-ные операции:
1) rp и rs с помощью (20.4) дают параметр rи = (rp/rs);
2) зная параметр rо, хранящийся в банке данных, и найденные rs и rи, находим с по-мощью (20.17) параметр а;
3) имея параметры а и rо находим значение cosDo по параметру u в (20.16) и далее параметр Do;
4) при найденных rи и а по па-раметру q в (20.15) – значение cos(D + Do) и далее параметр (D + Do);
5) по па-раметрам Do и (D + Do) находим эллипсометрический параметр D слоистой структуры. Если параметр К = (Ioo/Ioи) ¹ 1, в формулах(20.1), (20.14)–(20.16) параметр Vи,о4 заменяем на КVи,о4, в формулах (20.2) и (20.3) параметр Vо1,2 –
на (Vо1,2/К), в формуле (20.10) Vи3 – на (Vи3/K), в формуле (20.12) Vи3 – на
(Vи3/K2) и в формуле (20.13) параметр Vи4 – на (Vи4/K).
Эффективность метода холоэллипсометрии в эксперименте или техноло-гическом контроле в режимах in situ определена (а) числом эллипсометриче-ских параметров, которое измеряется независимо и параллельно с должным быстродействием, и (б) выработкой при этом управляющих команд. Само же осваиваемое методом холоэллипсометрии число параметров, получаемых in situ, задано числом тех оптических параметров, что нужны для теоретиче-ского описания слоистой структуры на основе электродинамики. Реализация метода холоэллипсометрии в реальном времени изучаемой слоистой структу-ры коррелирует в итоге с отлаженностью её теоретического описания.
Расчёт амплитудных комплексных коэффициентов отражения r*p и r*s сло-истой структурой линейно поляризованных p- и s-компонент падающего на неё света решается матричным методом, в котором четырёхкомпонентная матрица S связывает компоненты электрического поля световой волны на входе и выходе тонкого слоя, заключённого между двумя плоскостями, по-перечными бегу волны света. Применение метода связана с общими свойст-вами электромагнитного поля: граничные условия для электрических и маг-нитных векторов электромагнитного поля на границе раздела различных сред, в частности, непрерывность тангенциальных составляющих этих полей.
Пусть E+(z) и E-(z) – комплексные амплитуды плоских волн, бегущих в прямом (+) и обратном (–) направлении оси z, нормальной плоскости слоис-той структуры (рисунок 20–1) из N слоёв между внешней средой (0) и под-ложкой (N +1). Комплексный показатель преломления n*j = nj + ikj с дейст-вительной nj и мнимой kj частями и толщиной dj для j-слоя; внешняя среда – n*о = nо + ikj; подложка – n*N+1 = nN+1 + ikN+1. Плоская монохроматическая волна во внешней среде 0, падающая под углом j0 на границу раздела среды с планарной системой, порождает отражённую во внешнюю среду 0 волну и входящую в подложку (N +1) волну. В каждом j-слое возбуждается электро-магнитное поле волны как результат сложения полей двух плоских волн: одной волны, бегущей вперёд (+) к подложке, и другой, бегущей обратно назад (–) к внешней среде. Полное электрическое поле Е(z) задано двух-компонентной матрицей в виде вектор-столбца. Его компоненты – плоские волны E+(z) и E-(z), бегущие в прямом (+) и обратном (–) направлениях оси z поперёк плоскости слоистой структуры (рисунок 20–1):
E+(z)
Е(z) = E-(z) (20.19)
jo0
jj j
N
Z jN +1 N +1
Рисунок 20–1. Плоская световая волна на многослойной структуре.
Вектора Е(z¢) и Е(z¢¢) в точках, удалённых от начала (z = 0) размещения слоёв на расстояния z¢ и z¢¢, связаны матричным соотношением с помощью передаточной матрицы S: Е(z¢) =SЕ(z¢¢) (20.20). или системой уравнений: E+(z¢) = S11E+(z¢¢) + S12E-(z¢¢) (20.21-1). . E-(z¢) = S21E-(z¢) + S22E+(z¢¢) (20.21-2)
что равноценно: E+(z¢) S11 S12 E+(z¢¢)
Е(z¢) = E-(z¢) = S21 S22 · E-(z¢¢) (20.22)
Четырёхкомпонентная передаточная матрица Sописывает частьслоистой структуры между плоскостями, параллельными слоям и отстоящими от их начала на расстояния z¢ и z¢¢. Если z¢ и z¢¢ лежат по разные стороны границы слоёв j и (j–1), то для (20.20) имеем:
Е(zj–0) =I(j–1)jЕ(zj +0) (20.23)
где четырёхкомпонентная – (2х2) – матрицаI(j–1)j описывает границу разде-ла слоёв j и (j – 1). Если же z¢ и z¢¢ лежат внутри j-слоя на его границах при расстоянии в толщину слоя dj, то для соотношения (20.20) имеем:
Е(zj +0) =LjЕ(zj + dj – 0) (20.24)
где четырёхкомпонентная матрицаLj характеризует j-слой толщины dj. . . Все эти локальные поля – присутствующие внутри слоёв планарной сис-темы и на их границах контакта с другими слоями или средами – определяют результирующую волну. Если координаты z¢ и z¢¢ лежат во внешней среде (0) и в подложке (N +1) и непосредственно примыкают соответственно к грани-цам раздела внешней среды и первого слоя (01) и последнего N слоя и подложки (N, N +1), то поле Е(z1 – 0) на границе сред (01) и поле Е(z(N+1)+0) на границе контакта с подложкой (N, N+1) описывается матричным соотно-шением: Е(z1 – 0) = SЕ(z(N+1) + 0) (20.25)
Матрица S в соотношении (20.25) описывает общие свойства отражения и пропускания света слоистой структурой. Она задана произведением всех последовательно включаемых матриц – матриц I(j–1)j границ раздела слоёв j и (j–1) и матриц Lj j-слоя толщины dj, описывающих этапы взаимодействия плоских световых волн с элементами слоистой структуры на пути от входа в неё до выхода из неё:
S = I01L1I12L2···I(j–1)jLj···LNIN(N+1) (20.26)
Соотношение (20.26) показывает, что для определения матрицы Sслоис-той структуры рассчитывают матрицы I(j–1)j всех границ раздела слоёв и матрицыLj всех слоёв. Матрица I(j–1)j границы раздела слоёв j и (j–1) определена
френелевскими коэффициентами отражения r*(j–1)j и пропускания t*(j–1)j,
заданными углами падения jj:
1 r*(j–1)j
I(j–1)j = ∙(1/t*(j–1)j) (20.27)
r*(j–1)j 1
Матрица Lj для j-го слоя с комплексным показателем преломления n*j = nj + ikj и толщиной dj описывает фазовый сдвиг для волн E+(z) и E-(z), бегущих в разных направлениях в слое:
exp(+iфj) 1
Lj = 1 exp(–iфj) (20.28)
где фазовый сдвиг фj: фj = kdjn*jcosjj (20.29)
k – волновое число: k = 2p/l (20.30)
jj – угол между направлениями бега волн и нормали к границе раздела сред. . . В эллипсометрии матрица S слоистой структуры берётся отдельно для линейно поляризованных p- и s-компонент потока света на слоистой струк-туре. Применяя метод S-матрицы к структуре из двух слоёв (1 и 2), находя-щихся на подложке (3) во внешней среде (0): S = I01L1I12L2I23 (20.31) приняв во внимание соотношения (20.27) и (20.28) и проведя матричные перемножения, получаем матричные компоненты S11 и S21: .
и амплитудные комплексные коэффициенты отражения r*p,s линейно поляризованных p- и s- компонент потока света:
r*p,s = (S21/S11) p,s (20.35) .
Итак, их комплексные величины для двуслойной структуры зависят в итоге при известных комплексных показателях преломления n*0 и n*3 внешней среды и подложки от шести оптических параметров: действительных n1 и n,2, мнимых k1 и k2 частей комплексных показателей преломления n*1 и n*2 слоёв 1 и 2 и их толщин d1 и d2. Результат важен для холоэллипсометрии как задающий требования к обеспечению функциональной, схемотехнической и конструктивной организации холоэллипсометра. В данном случае требуется измерять в режиме in situ параллельно и с достаточным быстродействием, по крайней мере, не менее шести экспериментально определяемых эллипсомет-рических параметров, описывающих состояние двуслойной структуры.
0 jo
1j1 z = 0
2Zj2z = d
Рисунок 20–2. Оптически анизотропный плёночный слой на подложке.
Холоэллипсометрия оптически анизотропного поглощающего слоя 1 на подложке 2 при контакте с внешней средой 0 (рисунок 20–2) строится в рамках электродинамики сплошных сред, опирающейся на систему уравнений Максвелла-Лоренца для гармонически меняющихся векторов электромагнитного поля:
rot E + (iw/c)B = 0; divB = 0; (20.36-1) .
rotH – (iw/c)D = (4p/c)J; divD = 4pQ (20.36-2).
где E и H, D и B – векторы напряжённости и индукции поля светового излучения; Q – объёмная плотность свободных электрических зарядов;
J – плотность тока проводимости: J = <spq> E (20.37)
(<spq> – тензор проводимости 2-го ранга с комплексными компонентами). . . Материальные уравнения как связи векторов D и E, B и H, J и E заданы тензорами второго ранга для диэлектрической <epq> и магнитной <mpq> проницаемостей, проводимости <spq>:
D = <e*pq> E (20.38). .
B = <mpq> H (20.39).
и электрической проницаемости: <e*pq> = <epq> - i(4p/w)<spq> (20.40).
. Каждый тензор <epq>, <mpq>, <e*pq> и <spq> определён в общем случае 9 комплексными, а всего 18 действительными параметрами. Но компоненты электрических D(Dx, Dy, Dz); E(Ex, Ey, Ez) и магнитных B(Bx, By, Bz); H(Hx, Hy, Hz) векторов связаны уравнениями для энергии WE и WM электрического и магнитного полей электромагнитной волны и условиями инвариантности относительно преобразований симметрии кристаллов. С учётом этого выби-рают систему координат (x, y, z) для кристалла немагнитной среды, в кото-рой при нулевом магнитном поле недиагональные компоненты тензора элек-трической проницаемости <e*pq> (p ¹ q) в (20.40) обращаются в ноль. В ней для компонент Dq индукции D и Eq напряжённости E вдоль главных направ-лений в кристалле q (x, y, z) имеем связь:
Dq = e*qqEq (20.41). . Плоская линейно поляризованная световая волна с вектором Е, колеблю-щимся вдоль главного направления q в кристалле (q = x, y, z), распространя-ется с фазовой скоростью vq, связанной с главным значением действительной части nq показателя преломления n*q:
vq = (с/nq) (20.42)
а главное значение комплексного показателя преломления n*q (q = x, y, z) для главного направления q в кристалле задано главным значением электриче-ской проницаемости e*qq (q = x, y, z):
n*q = e*qq1/2 (20.43). .
Для оптически анизотропных одноосных кристаллических многослойных структур, получивших в практике высоких технологий объективно наиболее широкое распространение, число независимых параметров, описывающих оптические свойства и, следовательно, оптические параметры слоя в струк-туре, снижается до шести. Это (1) геометрическая толщина слоя d; (2) дейст-вительная nо и (3) мнимая ko части комплексного обыкновенного показателя преломления n*о:
n*о = nо + iko (20.44)
(4) действительная nе и (5) мнимая ke части комплексного необыкновенного показателя преломления n*е:
n*е = nе +ikе (20.45)
наконец, (6) угол a для направления колебаний вектора электрической индукции D электромагнитной волны относительно оптической оси кристалла, причём для необыкновенной волны (е), когда угол a отличен от прямого (a ¹ p¤2), фазовая скорость v(a) определяется соотношением: .
. Этот результат, повторяемся, также важен для холоэллипсометрии как задающий требования к обеспечению функциональной, схемотехнической и конструктивной организации соответствующего типа холоэллипсометра, при этом, видим, лишь один анизотропный слой многослойной структуры требу-ет уже не менее шести независимо определяемых в опыте параметров. Расчёт амплитудных комплексных коэффициентов отражения r*p и r*s поляризованного потока волн слоистыми анизотропными структурами являет собой самостоятельную научную проблематику. Решение возникающих в этой области научных исследований задач существенно опирается на разработанный метод (4х4)-матриц, хотя, может быть, разработанный ещё в недостаточной мере для произвольного случая кристаллических слоистых структур с более низкими типами симметрии. Но при нашемподходе к раз-витию холоэллипсометрии in situ как мониторинга высокотехнологичных процессов вполне приемлемыми оказываются разработанные методы расчёта коэффициентов отражения оптически анизотропными слоями, обладающими достаточно высокой кристаллографической симметрией и находящимися в окружении химически агрессивных сред. В актуальном для роста анизотропных структур случае, когда оптическая ось одноосной плёнки 1 перпендикулярна её границам со средой 0 и подлож-кой 2 (рисунок 20–2), можно применить формулу (20.35), уточняя в формулах (20.32)–(20.33) фазовую толщину: