Стійка і нестійка пружна рівновага стиснутого стержня

Під дією стискаючого навантаження, що поступово зростає, стержень проходить три форми рівноваги: стійку, байдужу та нестійку. Очевидна певна аналогія між стійкістю пружної системи і стійкістю положення абсолютно твердого тіла.

У стані стійкої рівноваги перебуває важка кулька на дні сферичного заглиблення (рис. 10.1,а). При відхиленні кульки від початкового положення вона після певної кількості коливань повернеться у вихідний стан. Стиснутий стержень перебуває в стані стійкої рівноваги, якщо стискаюча сила не перевищує критичного значення . У разі викривлення прямолінійної форми стержня внаслідок прикладання бічної сили він повернеться до початкової форми під дією внутрішніх сил пружності після усунення причини відхилення.

Кулька на горизонтальній плоскій поверхні (рис.10.1,б) перебуває в стані байдужої рівноваги, оскільки будь-яке її положення буде однаково стійким. Форма рівноваги стиснутого стержня є байдужою, коли стискаюча сила досягає критичного значення. При цьому стержень може зберегти

Рисунок 10.1

Кулька на опуклій поверхні (рис. 10.1,в) перебуває в стані нестійкої рівноваги. У разі виведення кульки з цього положення у вихідний стан вона не повернеться. Стиснутий стержень перебуває в стані нестійкої рівноваги, якщо стискаюча сила перевищує критичне значення. При цьому прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Втрата стійкості – це відхилення осі стержня від прямолінійної форми рівноваги, спричинене дією стискаючої сили.

Стискаюче навантаження, перевищення якого призводить до втрати стійкості вихідної форми стержня, називається критичним.

Зазначимо, що втрата стійкості може відбутися навіть тоді, коли напруження під дією критичної сили не досягнуть границі пропорційності. Тому стиснуті стержні обов’язково слід перевіряти не тільки на міцність, а й на стійкість.

Для безпечної роботи стиснутих стержнів необхідно, щоб стискаюче навантаження було меншим за критичну силу:

,

(10.1)

де - коефіцієнт запасу стійкості.

Величину коефіцієнта запасу стійкості приймають трохи більшою, ніж величину коефіцієнта запасу міцності, оскільки беруть до уваги додаткові несприятливі обставини: початкове викривлення стержня, ексцентриситет прикладання навантаження та ін.

Для сталевих стержнів приймають від 1,8 до 3; для стержнів із чавуну ; для дерев’яних стержнів .

Щоб запобігти втраті стійкості конструкції, необхідно забезпечити виконання умови стійкості (10.1), а для цього потрібно вміти визначити критичне навантаження.

Задача Ейлера

Рисунок 10.3

Рисунок 10.2

,

(10.2)

де - мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня; - відхилення центра ваги довільного перерізу від початкового положення на прямій осі; - згинний момент у довільному перерізі зігнутого стержня.

Рівняння (10.2) запишемо в такому вигляді:

.

Введемо позначення і дістанемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

(10.3)

Загальний інтеграл цього рівняння є гармонічною функцією

,

(10.4)

де та - сталі інтегрування, які визначаються з умов закріплення кінців стержня, тобто з граничних умов.

Шарнірне закріплення кінців стержня виключає відхилення в крайніх його точках, тобто виконуються такі граничні умови: якщо , то , якщо , то . Підставивши граничні умови в розв’язок (10.4), дістанемо систему двох рівнянь

; .

(10.5)

Стала інтегрування не повинна дорівнювати нулю, інакше виключається викривлення стержня. Звідси робимо висновок, що в другому з рівнянь (10.5) нулю дорівнює другий співмножник:

,

звідки

,

(10.6)

де - довільне ціле число.

З урахуванням раніше введеного позначення із співвідношення (10.6) визначимо множину критичних сил:

.

(10.7)

У розрахунках на стійкість практичне значення має найменша критична сила, що відповідає рівності :

.

(10.8)

Рівняння (10.8) називається формулою Ейлера.

Зігнута вісь стержня в стані байдужої рівноваги буде синусоїдою, рівняння якої

,

(10.9)

де - невизначене найбільше відхилення зігнутої осі від прямолінійного стану, яке, згідно з попереднім припущенням, має бути малим.

На довжині стержня між кінцевими шарнірами вміщується півхвиля синусоїди, оскільки відхилень не буде при та .

Якщо більше за одиницю, то зігнута вісь стержня, що описується рівнянням

,

вміщує більше ніж одну півхвилю синусоїди відповідно до числа (рис. 10.3). В таких умовах потрібна більша критична сила, щоб утримати стержень у зігнутому стані з півхвилями, як це видно з формули (10.7).

Отже, якщо стискаюча сила , то стержень має лише одну – прямолінійну форму рівноваги, що є стійкою.

Якщо , то поряд із прямолінійною існує інша – криволінійна форма рівноваги, причому прямолінійна форма рівноваги нестійка, а стійкою є викривлена форма рівноваги. В таких випадках кажуть, що відбувається біфуркація рівноважних станів стержня.

Слід звернути увагу на те, що критична сила не залежить від характеристик міцності матеріалу стержня.

10.3 Вплив умов закріплення стержня на значення критичної сили

Рис.10.4

, або	(10.10)
,	(10.11)

де - коефіцієнт зведення довжини стержня (коефіцієнт Ясинського), що чисельно рівний величині, оберненій числу півхвиль синусоїди, по якій згинається стержень; - коефіцієнт стійкості, що визначають за формулою

.

Величину називають зведеною довжиною. Це умовна довжина шарнірно обіпертого стержня, для якого критична сила дорівнює критичній силі для заданого стержня довжиною .

Коефіцієнти і залежать від трьох факторів:

1) характеру в’язей, що накладені на торцеві і проміжні перерізи стержня;

2) виду навантаження стержня зовнішніми силами (зосереджені чи розподілені) та місця їх прикладання;

3) характеру зміни перерізу стержня по його довжині.

Розглянемо вплив першого фактору, тобто вплив умов закріплення стержня. Формулу (10.10) можна отримати, якщо розглянути рівняння поздовжнього згину четвертого порядку

.

(10.12)

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд

.

(10.13)

Сталі визначають з граничних умов. Наприклад, для другого випадку закріплення (рис. 10.4,б):

; ; ; .

(10.14)

Використовуючи ці умови, одержимо систему однорідних рівнянь

(10.15)

Система (10.15) матиме ненульове рішення, якщо її визначник дорівнює нулю:

.

Розкривши цей визначник, отримаємо трансцендентне рівняння для визначення :

.

(10.16)

Найменший корінь цього рівняння визначає першу критичну силу , тоді

.

Таким чином ; . Аналогічно отримують значення коефіцієнтів, що вказані на рис. 10.4, при інших способах закріплення стержня.

Рисунок 10.5

У таких випадках критичною силою для стержня буде менша з двох визначених окремо для кожної з головних площин:

; ,

де та - головні моменти інерції перерізу стержня.

10.4 Критичні напруження. Межі застосування формули Ейлера

У стиснутому стержні критичні напруження виникають під дією критичної сили:

.

Урахувавши, що відношення є квадратом мінімального радіуса інерції , одержимо

.

Введемо безрозмірну величину , що називається гнучкістю стержня і дорівнює відношенню зведеної довжини до мінімального радіуса інерції поперечного перерізу:

.

(10.17)

Бачимо, що гнучкість стержня є його узагальненою геометричною характеристикою. Чим вона вища, тим гірше стержень опирається поздовжньому згину.

Тепер критичне напруження визначатиметься за формулою

.

(10.18)

Залежність між критичним напруженням та гнучкістю можна подати у вигляді гіперболічної кривої – гіперболи Ейлера (рис. 10.6). Оскільки формула Ейлера виведена в припущенні, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності, існують певні межі її застосування, які визначаються нерівностю

,

(10.19)

де - границя пропорційності матеріалу стержня.

З нерівності (10.19) визначимо умову, яку повинна задовільняти гнучкість стержня, щоб формула Ейлера була застосовною:

.

(10.20)

Знак рівності в цій умові відповідає граничній гнучкості , при зменшенні якої формула Ейлера стає непридатною. Бачимо, що гранична гнучкість стержня є його фізико-механічною характеристикою і залежить від модуля пружності і границі пропорційності. Для стержнів, виготовлених з маловуглецевої сталі Ст3, при модулі пружності і границі пропорційності гранична гнучкість

,

тобто для сталі Ст3 формула Ейлера застосована при . Відповідно для матеріалів з іншими механічними характеристиками граничні гнучкості матимуть інші значення.

Рисунок 10.6

,

(10.21)

де , та - коефіцієнти, що залежать від матеріалу стержня і визначаються експериментально (для пластичних матеріалів ).

За формулою Ясинського обчислюють критичні напруження для стержнів середньої гнучкості, що широко використовуються в багатьох сталевих та залізобетонних конструкціях. Для сталевих (Ст3) стержнів середня гнучкість становить .

Прямо пропорційній залежності між критичним напруженням та гнучкістю для стержнів середньої гнучкості на графіку (див. рис. 10.6) відповідає похила пряма ділянка – так звана пряма Ясинського, що продовжує гіперболу Ейлера. Стержні малої гнучкості на стійкість не розраховують, оскільки відповідні критичні напруження для них перевищують границю текучості, тобто руйнування таких стержнів відбувається внаслідок втрати міцності (рис.10.6 ділянка паралельна осі абсцис).

10.5 Практичні розрахунки стиснутих стержнів на стійкість

У розрахунках на стійкість критичне напруження є руйнівним, як границя текучості або границя міцності в розрахунках на міцність. Тому введено поняття допустимого напруження на стійкість :

,

де - коефіцієнт запасу стійкості.

Умова стійкості вимагає, щоб напруження, яке виникає при стисканні, не перевищувало допустимого напруження на стійкість:

.

Проте обчислення допустимого напруження на стійкість ускладнюється внаслідок того, що критичне напруження залежить не лише від властивостей матеріалу, а й від гнучкості стержня.

Знайдемо залежність між допустимим напруженням на стійкість та допустимим напруженням на міцність при стиску:

,

(10.22)

де - допустиме напруження на міцність при стисканні; - коефіцієнт запасу міцності.

Шукана залежність

,

(10.23)

де - коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження на міцність при розрахунку на стійкість.

Коефіцієнт для кожного матеріалу можна визначити при будь-якому значенні гнучкості й подати у вигляді таблиці або графіку залежності від .

Отже, з урахуванням залежності (10.23) умова стійкості набирає вигляду

.

(10.24)

За допомогою умови стійкості (10.24) розв’язують задачі трьох типів.

1. Перевірка стійкості полягає у перевірці виконання умови стійкості (10.24) в такій послідовності:

- визначають мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня та мінімальний радіус інерції (при однаковому закріпленні в головних площинах):

;

- обчислюють гнучкість стержня за формулою (10.17);

- за таблицями вибирають коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження ;

- добуті вихідні дані підставляють в умову стійкості (10.24) для перевірки її виконання.

2. Визначення допустимого навантаження з умови стійкості:

(10.25)

виконується аналогічно, за винятком останньої дії, замість чого обчислюють допустиме навантаження з нерівності (10.25).

3. Добір поперечного перерізу стержня, або проектувальний розрахунок, здійснюється на підставі обчислення площі перерізу з умови стійкості:

.

(10.26)

Ця задача не має єдиного розв’язку, оскільки до нерівності (10.26) входять дві невідомі величини: площа перерізу та коефіцієнт , який залежить від невизначених ще розмірів перерізу, його форми та довжини стержня. Тому задачу розв’язують методом послідовних наближень з перевіркою проміжних результатів за допомогою умови стійкості в такій послідовності:

- беруть довільне значення коефіцієнта та обчислюють площу перерізу стержня:

;

- відповідно до обчисленої площі визначають розміри перерізу або вибирають номер профілю із сортаменту;

- визначають радіус інерції та гнучкість стержня, за якою з таблиць знаходять j₁*;

- порівнюють коефіцієнти j₁ та j₁* і, якщо розбіжність невелика, перевіряють умову стійкості (10.24); у разі істотної розбіжності значень j₁ та j₁* виконують друге наближення, для якого оптимальним значенням коефіцієнта зниження основного допустимого напруження j₂ буде середньоарифметичне

.

Після цього повторюють всі зазначені дії.

Щоб отримати задовільний розв’язок, здебільшого треба виконати кілька наближень.

11 РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ НАПРУЖЕННЯХ, ЩО ЗМІНЮЮТЬСЯ
В ЧАСІ

Поняття про втому

Якщо на елемент конструкції діє навантаження, яке з часом багаторазово змінюється за модулем та напрямом, то характер опору матеріалу істотно відрізняється від опору дії статичного навантаження. Побутовим прикладом такого навантажування може бути багаторазове згинання відрізка дроту при намаганні його зламати. Очевидно, що волокна дроту поперемінно опиняються то в розтягнутій, то в стиснутій зонах (рис. 11.1).

Рисунок 11.1

Явище зниження міцності чи руйнування матеріалу під тривалою дією напружень, що циклічно змінюються в часі називають втомою.

Здатність матеріалів і конструкцій опиратися дії повторних (циклічних) навантажень називають витривалістю.

Втома є наслідком виникнення зсувів та зародження мікротріщин в несприятливо орієнтованих структурних складових матеріалу (зернах кристалів у металах, волокнах і матриці композитів, молекулярних ланцюгах полімерів і т.д.). Збільшуючись, мікротріщини зливаються в одну магістральну тріщину (макротріщину). Коли розміри магістральної тріщини досягають так званих критичних розмірів, вона починає спонтанно зростати, що призводить до руйнування деталі чи зразка.

Розрізняють два види втоми:

- багатоциклова, що характеризується пошкодженням і руйнуванням матеріалу внаслідок великого числа циклів навантаження (більше 10⁵) при напруженнях, що менші границі текучості;

- малоциклова, що спостерігається при відносно малому числі циклів (10³ – 10⁵), коли діючі навантаження викликають пластичні деформації.

Ми розглянемо лише багатоциклову втому.

Розвиток теорії витривалості проходить переважно шляхом накопичення і систематизації експериментальних даних. На сьогодні ми можемо розраховувати на витривалість порівняно вузьке коло деталей, щоправда таких, які часто зустрічаються (вали, зубчаті колеса, різьові з’єднання і ін.). Для розрахунку нових вузлів і систем доводиться виконувати натурні втомні випробування.

Поиск по сайту: