Рівняння трьох моментів

Статично невизначену балку, що має більш ніж дві опори називають нерозрізною.

Рисунок 8.4

Під дією такого навантаження прості балки еквівалентної системи деформуються і, зокрема, їх опорні перерізи повертаються один відносно одного на певний кут, що позначений на опорі через (рис. 8.4,в).

Рівняння переміщень випливає з умови, що реальна нерозрізна балка проходить суцільно над всіма опорами і тому опорні перерізи однопрольотних балок еквівалентної системи не можуть повертатися один відносно одного, тобто

.

(8.7)

Використовуючи принцип незалежності дії сил

,

(8.8)

де , , - кути повороту опорних перерізів однопрольотних балок еквівалентної системи на опорі від дії одиничних моментів , , , а - від дії зовнішнього навантаження.

Коефіцієнти рівняння (8.8) визначимо за способом Верещагіна (рис. 8.5):

Рисунок 8.5

.

Вільний член рів-няння (8.8) , тобто взаємний кут повороту опорних перерізів простих балок еквівалентної системи на опорі від дії зовнішніх навантажень, зобразимо як суму кутів і зліва і справа від опори (рис. 8.6)

.

(8.9)

Після підстановки значень коефіцієнтів і вільного члена у рівняння (8.8) отримаємо

.

(8.10)

Одержане рівняння переміщень для нерозрізної балки називають рівнянням трьох моментів. Таких рівнянь треба скласти стільки, скільки балка має зайвих опор.

Якщо момент інерції нерозрізної балки змінюється від прольота до прольота, то рівняння (8.10) набуде вигляду

,

(8.11)

де і - моменти інерції відносно осі згину поперечних перерізів n і n+1 прольотів.

Рисунок 8.6

Кути повороту опорних перерізів і можна знаходити у будь-який спосіб. Дуже зручно користатися відомими узагальненими формулами для типових навантажень, що подані в довідковій літературі.

Іноді праву частину рівняння (8.10) зручно представити в іншому вигляді

,

де і - площі епюр згинних моментів, що виникають від заданого зовнішнього навантаження в простих балках з прольотами і (рис. 8.4); і - відстані від центрів ваги вказаних епюр до та опор.

Після визначення опорних моментів , , кожен прольот розглядають як просту балку на двох опорах, що навантажена зовнішнім навантаженням і знайденими опорними моментами

СКЛАДНИЙ ОПІР

Загальні поняття

Складний опір виникає у випадку, коли в поперечних перерізах стержня одночасно діє не менше ніж два внутрішні силові фактори (виключенням є прямий поперечний згин, що відносять до простого опору стержня, оскільки в практичних розрахунках впливом поперечної сили зазвичай нехтують).

Рисунок 9.1

Всі види складного опору можна розділити на три групи:

1. Складний опір, при якому в довільній точці перерізу можуть виникати лише нормальні напруження , , , що діють по одній прямій (лінійний напружений стан) і можуть бути враховані шляхом алгебраїчного сумування

.

2. Складний опір, при якому в довільній точці перерізу виникають лише дотичні напруження , і , що діють в одній площині та спрямовані під кутом одне до одного і можуть бути враховані шляхом геометричного сумування

.

3. Складний опір, при якому в точках перерізу одночасно виникають нормальні і дотичні напруження (плоский напружений стан), що можуть бути враховані в розрахунках шляхом застосування однієї із теорій міцності.

Косий згин

Рисунок 9.2

Розрізняють плоский косий згин, коли всі зовнішні сили лежать в одній площині, а пружна лінія балки – плоска крива і просторовий згин, коли зовнішні сили діють в різних площинах (площини згинних моментів в різних поперечних перерізах орієнтовані по різному), а пружна лінія балки – просторова крива.

Розглянемо плоский косий згин консольної балки (рис. 9.3). Розкладемо зовнішню силу на складові по головним осям інерції поперечного перерізу балки

; .

Рисунок 9.3

Згинні моменти в перерізі з абсцисою від сил і (рис. 9.4,а) дорівнюють

(9.1)

а) б) Рисунок 9.4

Розділивши перший вираз (9.1) на другий, одержимо

.

(9.2)

Щоб знайти положення площини дії повного згинного моменту необхідно вісь повернути на кут , так щоб вона проходила через центр ваги перерізу і два квадранта, в яких моменти і викликають нормальні напруження одного

знаку (на рис. 9.4 це будуть I і ІІІ квадранти).

Нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу балки визначаємо за формулою

.

(9.3)

У формулу (9.3) згинні моменти і підставляють зі знаком плюс, якщо в точках першої чверті їм відповідають розтягуючі нормальні напруження, і зі знаком мінус, якщо – стискаючі. Координати точки і підставляють зі своїми знаками.

Рівняння нейтральної лінії отримаємо, розглядаючи її як геометричне місце точок перерізу, в яких нормальні напруження дорівнюють нулю

,

звідси

.

(9.4)

Це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

.

(9.5)

Отже, щоб знайти положення нейтральної осі потрібно вісь повернути на кут так, щоб вона проходила через центр ваги перерізу і два квадранта, в яких моменти і викликають нормальні напруження різних знаків (рис. 9.4,б).

З формули (9.5) бачимо, що в загальному випадку кут не дорівнює куту , тобто нейтральна вісь не перпендикулярна площині дії згинного моменту. Вона може бути перпендикулярною до цієї площини лише у випадку (круг, кільце, квадрат), тому для балок із такими поперечними перерізами поняття косого згину нівелюється.

Формулу (9.3), враховуючи (9.1) приведемо до іншого вигляду

, або ,	(9.6)

де - відстань від довільної точки перерізу до нейтральної осі. Аналіз рівняння (9.6) показує, що найбільші напруження виникають в точках поперечного перерізу, що найбільш віддалені від нейтральної осі (рис. 9.4,б).

У випадку, коли переріз має дві осі симетрії (прямокутник, двотавр), напруження в найбільш віддалених від нейтральної осі точках однакові за величиною і відрізняються лише знаком. Умова міцності для пластичного матеріалу має вигляд

,

(9.7)

де , - моменти опору перерізу відносно осей і .

Для виконання проектного розрахунку рівняння (9.7) зручно представити у вигляді

,

(9.8)

де - величина, якою попередньо задаються.

Рисунок 9.5

(9.9)

Якщо , достатньо записати одну з умов (9.9), що відповідає більшому за абсо­лютною величиною напруженню.

Повернемося до прикладу (рис. 9.3) та знайдемо прогин вільного торця балки:

- прогин від дії сили

;

(9.10)

- прогин від дії сили

;

(9.11)

- повний прогин (рис. 9.6)

.

(9.12)

Рисунок 9.6

.

(9.13)

Рівність (9.13) показує, що чим більше відношення , тим більша різниця між кутами і . Тому, для вузьких і високих перерізів, в яких відношення головних моментів інерції досить велике, вже незначне відхилення площини дії зовнішніх сил від площини найбільшої жорсткості викликає значне відхилення площини згину балки, що слід враховувати при проектуванні.

Поиск по сайту: