Метод сил. Канонічні рівняння

Теорема Кастиліано

Переміщення точки прикладання сили (узагальненої) у напрямку її дії дорівнює частинній похідній від виразу потенціальної енергії стержня по цій силі.

.

(7.6)

Підставивши (7.2) в (7.6) та використовуючи правило диференціювання за параметром, отримаємо

.

(7.7)

Наприклад, в задачах плоского згину прогин у точці прикладання зосередженої сили дорівнює

,

(7.8)

а кут повороту перерізу де прикладений зосереджений мо-мент

.

(7.9)

Рисунок 7.3

, а .

За формулою (7.8) шуканий прогин

.

Якщо в напрямку шуканого навантаження узагальнена сила не діє, то її прикладають, як фіктивну. Після диференціювання фіктивну силу прирівнюють до нуля і виконують інтегрування.

Інтеграл Мора

Розглянемо прямий поперечний згин балки, що навантажена довільним зовнішнім навантаженням (рис. 7.4,а). Такий стан балки назвемо грузовим.

Знайдемо прогин точки . Для цього розвантажимо балку, а в напрямку шуканого переміщення прикладемо оди-ничну (безрозмірну) силу . Такий стан балки назвемо одиничним.

Рисунок 7.5

Рисунок 7.4

Визначимо віртуальну роботу зовнішніх і внутрішніх сил одиничного стану на переміщеннях, що викликані дією сил грузового стану.

Робота зовнішніх сил

.

(7.10)

Робота внутрішніх сил (рис. 7.5)

, де ,

тобто

.

(7.11)

Прирівнявши праві частини (7.10) і (7.11) отримаємо формулу Мора (інтеграл Мора)

.

(7.12)

Тут - вираз згинного моменту, що виникає в одиничному стані, - вираз згинного моменту в грузовому стані.

Якщо в точці потрібно визначити кутове переміщення, то при утворенні одиничного стану замість одиничної сили потрібно прикласти одиничний момент .

У випадку просторової задачі, наслідуючи формулу (7.2), отримаємо

.

(7.13)

СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНІ БАЛКИ

Загальні поняття

Рисунок 8.1

б) Рисунок 8.2.

,

де - кількість реакцій у в’язах, що накладені на балку; - кількість рівнянь рівноваги, що можна скласти для даної балки. Наприклад, для балки, що зображена на рис.8.2,б , тобто така балка двічі статично невизначена.

Зазвичай кажуть, що на разів статично невизначену балку накладено зайвих в’язей. Тут „зайвою” називають таку в’язь, якої балка не потребує для збереження своєї геометричної незмінності. Нагадаємо, що геометрично незмінною називають таку балку, переміщення точок якої можливі лише за рахунок її деформації.

Для розкриття статичної невизначеності необхідно доповнити рівняння рівноваги рівняннями сумісності, як це ми робили в задачах розтягу – стиску та кручення.

Метод сил. Канонічні рівняння

Метод сил це найбільш загальний метод розкриття статичної невизначеності стержнів, балок та стержневих систем (рам, арок, ферм тощо).

Рисунок 8.3

Завантаживши основну систему зовнішнім навантаженням і невідомими реактивними силами , , ..., , що замінюють вплив на балку видалених в’язей, отримаємо еквівалентну систему (рис. 8.3,в).

Невідомі сили , , ..., необхідно підібрати так, щоб еквівалентна система поводила себе як реальна. Умова еквівалентності описується канонічними рівняннями методу сил. Для їх запису зазвичай прирівнюють нулеві (чи заздалегідь відомій величині) переміщення точок кріплення видалених зайвих в’язей.

Використовуючи принцип суперпозиції, запишемо вирази для знаходження прогинів балки в точках кріплення видалених в’язей , ..., у вигляді суми прогинів, що викликані окремо кожною невідомою силою , , ..., і заданим зовнішнім навантаженням :

. (8.1)

Нагадаємо, що, наприклад, позначка означає прогин точки прикладання сили в напрямку її дії від сили ; - те ж саме, тільки від зовнішнього навантаження і т.д. Прогини , , ..., можна записати як добутки питомого прогину , що викликаний дією одиничної сили, на величину відповідної сили.

Наприклад, ; ; ,

або загалом .

Тоді рівняння (8.1) набудуть вигляду

(8.2)

Рівняння переміщень, що записані у вигляді (8.2), називають канонічними рівняннями методу сил (тут пунктиром виділені рівняння для один раз та два рази статично невизначених балок). Необхідна кількість рівнянь дорівнює ступеню статичної невизначеності балки.

Переміщення , , що входять до канонічних рівнянь, можна визначити у будь-який зручний спосіб. Зазвичай користуються інтегралом Мора, який частіш за все обчислюють за способом Верещагіна. Для цього в основній системі будують епюри згинних моментів окремо від заданого зовнішнього навантаження (так звана грузова епюра ) і від кожної одиничної сили (так звані одиничні епюри: від - епюра , від - епюра , від - епюра ).

Для визначення головних коефіцієнтів , , ..., необхідно епюри , , ..., помножити самі на себе за способом Верещагіна, або користуючись формулою Мора

; ; ...; .

Для визначення бічних коефіцієнтів канонічних рів-

нянь , , ..., необхідно епюри , , ..., пере-

множити з відповідними епюрами , , ..., за способом Верещагіна, або

; ; ...; .

Нагадаємо, що за теоремою про взаємність переміщень

.

Для визначення вільних членів канонічних рівнянь , , ..., необхідно грузову епюру перемножити з відповідними одиничними епюрами , , ..., , або

; ; ...; .

Поиск по сайту: