Визначення швидкостей точок плоскої фігури

Нагадаємо, що рух плоскої фігури можна розглядати як складову з поступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса.

Відповідно до цього швидкість довільної точки М плоскої фігури геометрично складається із швидкості будь-якої точки А, що прийнята за полюс, і швидкості, яку точка М одержує при обертанні фігури навколо цього полюса, тобто

. (3.2)

При цьому швидкість визначається за величиною і напрямом так само, якби тіло здійснювало обертальний рух навколо нерухомої осі, що проходить через точку А, тобто

, де , . (3.3)

Таким чином, якщо відомі швидкість полюса і кутова швидкість тіла , то швидкість будь-якої точки М тіла визначається, відповідно до рівності (3.2), діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і , як на сторонах (рис. 3.3), а модуль швидкості V_M обчислюється за формулою:

, (3.4)

де g - кут між векторами і .

Рис. 3.3

Теорема про проекції швидкостей двох точок твердого тіла

Відповідно до рівняння (3.2) для двох довільних точок А і В твердого тіла справедлива формула , відповідно до якої виконуємо побудову, зображену на рис. 3.4. Проектуючи обидві частини цього рівняння на вісь Ах, спрямовану по відрізку АВ, і,з урахуванням, що вектор перпендикулярний прямій АВ, знаходимо

. (3.5)

Цей результат і виражає теорему: проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, рівні між собою.

Природно, що рівність проекцій векторів означає рівність цих проекцій за їх модулем і знаком.

Рис. 3.4

Визначення швидкостей точок за допомогою миттєвого центра швидкостей (МЦШ)

Для визначення швидкостей точок плоскої фігури виберемо за полюс будь-яку точку Р. Тоді відповідно до формули (3.2) швидкість довільної точки М визначається як сума двох векторів і :

, де , .

Якби виявилося, що швидкість полюса Р в даний момент часу дорівнює нулю, то права частина цього рівняння була б представлена одним доданком , а швидкість будь-якої іншої точки визначалася б як її лінійна швидкість при обертанні тіла навколо полюса Р:

, . (3.6)

Отже, якщо вибрати як полюс точку Р, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, то модулі швидкостей усіх інших точок фігури будуть пропорційні їхнім відстаням від полюса Р, а напрями векторів швидкостей ціх точок будуть перпендикулярні прямим, що з'єднують розглянуту точку і полюс Р. Природно, що розрахунок швидкостей точок за формулами (3.6) значно простіше розрахунку за загальною формулою (3.2).

Точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦШ). Легко переконатися, що коли фігура рухається непоступально, то така точка в кожний момент часу існує і при цьому єдина. Розглянемо способи визначення положення миттєвого центра швидкостей.

Спосіб 1. Нехай у момент часу t для плоскої фігури відомі її кутова швидкість і швидкість будь-якої її точки А (рис. 3.5,а).Тоді, вибираючи точку А за полюс, швидкість шуканої нами точки Р можна визначити за формулою .

Задача полягає в тому, щоб знайти таку точку Р, у якій лінійна швидкість , а отже, і звідси . Тоді для точки Р швидкість , яку точка Р одержує при обертанні фігури навколо полюса А, і швидкість полюса А будуть рівні за модулем ( ) і протилежні за напрямом. Крім того, точка Р повинна лежати на перпендикулярі до вектора швидкості .Визначення положення точки Р, що відповідає зазначеним умовам, здійснюється такою побудовою: з точки А (рис. 3.5,б)відновимо перпендикуляр до вектору і відкладемо на ньому відстань у той бік від точки А, куди «покаже» вектор , якщо його повернути в напряму дугової стрілки на 90⁰.

Відзначимо, що миттєвий центр швидкостей може бути розташований як на самій фігурі, так і на її уявному продовженні (тобто поза фігурою). Миттєвий центр швидкостей є єдиною точкою плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.В інший момент часу миттєвим центром швидкостей буде вже інша точка плоскої фігури.

а) б)

Рис. 3.5

Спосіб 2. Якщо відомі напрями швидкостей і двох точок А і В плоскої фігури, то миттєвий центр швидкостей буде знаходитися в точці перетину перпендикулярів, відновлених з точок А і В до векторів їхшвидкостей. Така побудова виконана на рис. 3.6. Вона обгрунтована тим, що для будь-яких точок А і В фігури застосовані положення (3.6):

, і , .

З цих рівностей випливає, що

. (3.7)

Отже, якщо МЦШ визначено, то швидкості точок плоскої фігури визначаються, начебто ця фігура в даний момент часу обертається навколо миттєвого центра швидкостей (точки Р).

Рис. 3.6

Спосіб 3. Якщо швидкості точок А і В плоскої фігури паралельні одна одній, то можливі три варіанти зображені на рис. 3.7.

При цьому у випадку, коли швидкості точок А і В паралельні й пряма АВ не перпендикулярна (рис. 3.7, в), то миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності , тобто фактично не існує, а кутова швидкість обертання фігури . Тут швидкості всіх точок фігури в даний момент часу рівні одна одній і фігура має розподіл швидкостей як при поступальному русі. Такий стан руху тіла називають миттєво поступальним.

а) б) в)

Рис. 3.7

Спосіб 4. Якщо плоский рух тіла здійснюється шляхом кочення без ковзання по нерухомій поверхні (рис. 3.8), то точка дотику Р буде миттєвим центром швидкостей.

Рис. 3.8

Поиск по сайту: