Первообразная функция, неопределённый интеграл и его свойства

К понятию первообразной функции приводят многие задачи математического анализа и физики. Рассмотрим былинный физический пример: известен закон изменения скорости тела , требуется найти закон изменения координаты данного тела.

Скорость – это производная от пройдённого пути: (см. урок о смысле производной), таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции (производной) восстановить функцию .

Общая же постановка вопроса такова: в распоряжении есть некоторая функция и возникает потребность выяснить, от какой функции она произошла. То есть, необходимо найти ТАКУЮ функцию , чтобы .

Определение: функция называется первообразнойдля функции на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка выполняется равенство или, что то же самое: (раскрывать дифференциал мы научились ещё на первом уроке онеопределённом интеграле).

Например, для первообразной функцией на всей числовой прямой будет являться функция . И действительно, для любого «икс»:
.

Простое, но требующее доказательства утверждение:

Теорема: пусть – какая-нибудь первообразная для функции на некотором промежутке. Тогда функция , где – произвольная константа, тоже будетпервообразной функцией для на данном промежутке.

Доказательство: поскольку производная константы равна нулю, то:
, следовательно, – первообразная для функции по определению первообразной, что и требовалось доказать.

Так, для функции первообразной будет являться любая функция из множества , где (мысленно поподставляйте конкретные числовые значения).

Докажем обратное утверждение: любая другая первообразная для функции отличается от лишь на приплюсованную константу, иными словами: .

Вот это уже менее очевидный факт. И в самом деле – вдруг для функции существует не только , а какая-нибудь ещё первообразная?

Пусть – это две первообразные для функции на некотором промежутке. Тогдадля любого «икс» из данного промежутка производная разности будет равна:

, или если записать короче:

Но с другой стороны, из дифференциального исчисления известно, что данному условию удовлетворяет функция-константа и только она:

Откуда и следует равенство , которое требовалось доказать. Таким образом,любая первообразная для функции имеет вид

Вуаля:

Определение: множество всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, по определению:

, где

Напоминаю, что функция называется подынтегральной функцией, –подынтегральным выражением, а сам процесс отыскания множества первообразных – интегрированием. Интегрирование – это восстановление функции по её производной (обратное действие по отношению к дифференцированию).

Для нашего демонстрационного примера:
, где

Проверка: – исходная подынтегральная функция.

Любая ли функция интегрируема? Нет.

Сформулируем достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Как видите, условие довольно-таки лояльное – для существования первообразнойдостаточно лишь непрерывности. Ниже по тексту, если не сказано иного, все функции будем считать интегрируемыми.

Поиск по сайту: