Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Динамические модели чувствительных элементов



Для определения динамических характеристик датчиков на их вход необходи­мо подавать переменные внешние сигналы и следить за реакцией на выходе. В общем виде, тестовые внешние сигналы могут быть любой формы, определяе­мой только практическими потребностями. Например, для определения соб­ственной частоты акселерометра, лучшими тестовыми сигналами являются си­нусоидальные колебания переменной частоты, а для термисторного щупа тес­товый сигнал должен представлять собой ступенчатую функцию температуры. Для других случаев чаще всего применяются ступенчатая или импульсная фун­кции. Ступенчатые функции обладают теоретически бесконечным частотным спектром, что является причиной их использования для определения динами­ческих характеристик датчиков, поскольку позволяют проводить тестирова­ние одновременно на всех частотах.

Математически поведение датчика может быть описано дифференциаль­ным уравнением, порядок которого зависит от физической природы чувстви­тельного элемента и конструкции всей системы. Существует несколько типов зависимостей между входным сигналом s и выходной реакцией S: нулевого по­рядка, первого порядка и второго порядка.


3.14. Динамические модели чувствительных элементов I

Уравнение нулевого порядка является статическим или независящим от времени:

S{i) = Gs{t), (3.148)

где G — постоянная передаточная функция. Это выражение можно записать в не­скольких видах (см. уравнения 2.1-2.4). Важным здесь является то, что Сне зави­сит от времени, поэтому выходной сигнал системы нулевого порядка на входную ступенчатую в ответ на ступенчатое входное воздействие будет также ступенча­тым.

Уравнение первого порядка имеет вид:

 

где а1 и а0константы. Это уравнение описывает поведение датчиков, сначала накапливающих энергию, а потом ее отдающих. Пример таких датчиков — датчик температуры, обладающий теплоемкостью и связанный с окружающей средой через тепловое сопротивление. Выходной сигнал такой системы в ответ на вход­ную ступенчатую функцию носит экспоненциальный характер:

 

 

где S0 — статическая реакция датчика, а т - постоянная времени, характеризую­щая инерционность системы. Типичная реакция системы первого порядка пока­зана на рис. 2.9Б во второй главе.

 

Перейдем к уравнениям второго порядка:

 

 

 

Такие дифференциальные уравнения соответствуют датчикам или системам, в состав которых входят по два энергонакопительных элемента — например, катушка индуктивности и конденсатор или датчик температуры и конденсатор. Посколь­ку в состав датчиков второго порядка часто входят элементы, совершающие коле­бательные движения, это может приводить к неустойчивости всей системы. На рис. 2.1 IE во второй главе показана типичная форма выходного сигнала устрой­ства второго порядка в ответ на ступенчатую входную функцию. Динамическая ошибка в таких системах определяется несколькими факторами: частотой ω0 и коэффициентом затухания b, связанных с независимыми коэффициентами урав­нения (3.151) следующими соотношениями:


140 Глава 3. Физические приципы датчиков

Критическое демпфирование системы (см. рис. 2.10 главы 2) соответствует коэф­фициенту затухания b = 1. При b > 1 наступает передемпфирование, а при b < 1 — недодемпфирование. Для получения более подробной информации о ди­намических характеристиках надо обратиться к специализированной литературе, например, [39].

Математическое моделирование датчика является мощным инструментом для прогнозирования его характеристик. Моделирование бывает двух типов: ста­тическое и динамическое. Статические модели обычно используют передаточ­ную функцию датчика в том виде, как она представлена во второй главе. В этой главе дано краткое описание способов оценки динамических характеристик си­стемы. В состав динамических моделей могут входить несколько независимых переменных, одной из которых всегда является время. Рассматриваемые моде­ли соответствуют представлению датчиков в виде систем с сосредоточенными параметрами. В этом разделе все математические модели строятся на примене­нии законов физики к отдельным элементам системы. Другими словами, при разработке модели датчик разбивается на отдельные элементы, и каждый эле­мент рассматривается отдельно. После этого математические описания инди­видуальных элементов объединяются в единую модель, описывающую поведе­ние всей системы в целом.

Механические элементы

Динамический механический элемент можно представить в виде массы (инерци­онного компонента), соединенной с пружиной и демпфирующим устройством. При вязкостном демпфировании и прямолинейном перемещении удерживающая сила пропорциональна скорости движения. Аналогично этому и при круговом дви­жении удерживающая сила всегда пропорциональна угловой скорости. Поэтому сила или крутящий момент, формируемые штоком или пружиной, как правило, также пропорциональны перемещению. В таблице 3.4 приведены основные урав­нения для некоторых механических элементов.

Таблица 3.4. Механические, тепловые и электрические аналогии

 



3 14 Динамические модели чувствительных элементов


 

Самый простой способ вывода уравнений движения - вьщеление каждого инерционного элемента (массы) и рассмотрение его как свобод­ного тела. При этом предполагается, что все сво­бодные компоненты начинают свое движение из положения равновесия, а удерживающие силы или моменты, возникающие при перемещении, возвращают их снова на исходную позицию. При выполнении этих условий к каждому элементу

можно применить второй закон Ньютона и вы-

вести из него уравнение движения.

Для прямолинейного движения и совмес­
тимых систем единиц измерения второй закон Ньютона формулируется следующим образом: сумма сил, действующих на тело, равна произве- дению его массы наускорение. В системе СИ сила
измеряется в ньютонах (Н), масса в килофам­
мах (кг), а ускорение в м/с2.

Для вращательного движения закон Нью- тона гласит, что сумма моментов сил, действую- щих на тело, равна произведению его моментаинерции на угловое ускорение. Момент сил изме­ряется в Ньютонхмеф (Нхм), момент инерции в килофаммах на метр квадратный (кгм2), а угловое ускорение - в радианах на секунду в квадрате (рад/с2).

Рассмотрим одноосевой акселерометр, состоящий из инерционного элемента, чье движение преобразуется в электрический сигнал. Для этого, например, можно приме­нить пьезоэлектрический преобразователь. На рис. 3.49А показана механическая мо­дель такого акселерометра. Масса М удерживается пружиной, обладающей коэффи­циентом жесткости к. Движение массы демпфируется успокоительным устройством, обеспечивающим коэффициент затухания b. Инерционный элемент может переме­щаться в корпусе акселерометра только в горизонтальном направлении. Во время дви­жения на устройство действует ускорение dx/dt2, а вькодной сигнал пропорционален отклонению массы на расстояние х0.

Поскольку инерционный элемент может перемещаться только в одном направле­нии, акселерометр имеет только одну степень свободы. На рис. 3.49Б показана диаг­рамма сил, действующих на свободное тело массы М. Отметим, что х0 равно сумме смещения тела от равновесного состояния х и некоторого фиксированного рассто­яния. Применяя второй закон Ньютона, получаем следующее соотношение:

 

 

гдеf — ускорение инерционной массы с учетом ускорения свободного падения:



Глава 3. Физические приципы датчиков


Подставив это выражение в уравнение (3.154), получим требуемое уравнение дви­жения:

 


У

Отметим, что каждый член в уравнении (3.156) имеет размерность ньютон (Н). Это выражение является дифференциальным уравнением второго порядка, что означает, что на выходе акселерометра могут появиться нежелательные колеба­ния. На практике, регулируя коэффициент затухания Ь, добиваются состояния критического демпфирования.

Тепловые элементы

Тепловые элементы — это радиаторы, нагревательные элементы, теплоизолято-ры, отражатели и поглотители тепла. При изучении тепловых характеристик дат­чик рассматривается как составная часть измерительной системы, при этом учи­тываются: теплопередача через корпус устройства и монтажные элементы, кон­векция воздуха, обмен тепловыми излучениями с остальными объектами и т.д.


Рис. 3.50.А — тепловая модель нагревательного элемента, Б — электрическая схема с резистивными, емкостными и индуктивными элементами


Вспомним, что тепло передается тремя способами: через теплопроводность, естественную и принудительную конвекцию и тепловое излучение (раздел 3.12). При построении простой модели с сосредоточенными параметрами для опреде­ления изменения температуры объекта можно воспользоваться первым законом термодинамики, по которому скорость изменения внутренней энергии тела рав­на разности втекающего и вытекающего потоков тепла, что очень напоминает задачу об уровне воды в резервуаре, когда в одну трубу вода заливается, а из дру­гой сливается. Тогда тепловой баланс можно выразить в виде уравнения:


 

где С = М * е — теплоемкость тела (Дж/К), Т — температура (К), ΔQ — интенсивность теплового потока (Вт), М — масса тела (кг), а с — удельная теплоемкость материала (Дж/(кг*К). Интенсивность теплового потока, проходящего через тело, является фун­кцией теплового сопротивления тела, которая на практике часто считается линейной:


3.14. Динамические модели чувствительных элементов 143

 

 

где R — тепловое сопротивление (К/Вт), а Т1г — градиент температуры на эле­менте, теплопроводность которого рассматривается.

Для иллюстрации этого проанализируем нагревательный элемент, имеющий температуру Th (рис.3.50А). Элемент покрыт слоем теплоизоляционного материа­ла. Температура окружающей среды равна T0 Q1 — это тепло, приложенное к эле­менту, Q0 — тепловые потери. Из уравнения (3.157) следует, что

а

 

уравнения (3.158):

 

 

Объединив эти два выражения, получим дифференциальное уравнение:

 

Это уравнение первого порядка является типичным для тепловых систем. Тепло­вые элементы очень стабильны по своей природе, если только не входят в состав устройств с контуром обратной связи. Выходная реакция простого теплового эле­мента на ступенчатое внешнее воздействие характеризуется постоянной време­ни, равной произведению теплоемкости на тепловое сопротивление: τT= CR. По­стоянная времени измеряется в секундах, и для пассивных охлаждающих элемен­тов она равна времени, за которое выходной сигнал достигает уровня 37% от на­чального температурного градиента.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.