Динамические модели чувствительных элементов

Для определения динамических характеристик датчиков на их вход необходи­мо подавать переменные внешние сигналы и следить за реакцией на выходе. В общем виде, тестовые внешние сигналы могут быть любой формы, определяе­мой только практическими потребностями. Например, для определения соб­ственной частоты акселерометра, лучшими тестовыми сигналами являются си­нусоидальные колебания переменной частоты, а для термисторного щупа тес­товый сигнал должен представлять собой ступенчатую функцию температуры. Для других случаев чаще всего применяются ступенчатая или импульсная фун­кции. Ступенчатые функции обладают теоретически бесконечным частотным спектром, что является причиной их использования для определения динами­ческих характеристик датчиков, поскольку позволяют проводить тестирова­ние одновременно на всех частотах.

Математически поведение датчика может быть описано дифференциаль­ным уравнением, порядок которого зависит от физической природы чувстви­тельного элемента и конструкции всей системы. Существует несколько типов зависимостей между входным сигналом s и выходной реакцией S: нулевого по­рядка, первого порядка и второго порядка.

3.14. Динамические модели чувствительных элементов I

Уравнение нулевого порядка является статическим или независящим от времени:

S{i) = Gs{t), (3.148)

где G — постоянная передаточная функция. Это выражение можно записать в не­скольких видах (см. уравнения 2.1-2.4). Важным здесь является то, что Сне зави­сит от времени, поэтому выходной сигнал системы нулевого порядка на входную ступенчатую в ответ на ступенчатое входное воздействие будет также ступенча­тым.

Уравнение первого порядка имеет вид:

где а₁ и а₀ — константы. Это уравнение описывает поведение датчиков, сначала накапливающих энергию, а потом ее отдающих. Пример таких датчиков — датчик температуры, обладающий теплоемкостью и связанный с окружающей средой через тепловое сопротивление. Выходной сигнал такой системы в ответ на вход­ную ступенчатую функцию носит экспоненциальный характер:

где S₀ — статическая реакция датчика, а т - постоянная времени, характеризую­щая инерционность системы. Типичная реакция системы первого порядка пока­зана на рис. 2.9Б во второй главе.

Перейдем к уравнениям второго порядка:

Такие дифференциальные уравнения соответствуют датчикам или системам, в состав которых входят по два энергонакопительных элемента — например, катушка индуктивности и конденсатор или датчик температуры и конденсатор. Посколь­ку в состав датчиков второго порядка часто входят элементы, совершающие коле­бательные движения, это может приводить к неустойчивости всей системы. На рис. 2.1 IE во второй главе показана типичная форма выходного сигнала устрой­ства второго порядка в ответ на ступенчатую входную функцию. Динамическая ошибка в таких системах определяется несколькими факторами: частотой ω₀ и коэффициентом затухания b, связанных с независимыми коэффициентами урав­нения (3.151) следующими соотношениями:

140 Глава 3. Физические приципы датчиков

Критическое демпфирование системы (см. рис. 2.10 главы 2) соответствует коэф­фициенту затухания b = 1. При b > 1 наступает передемпфирование, а при b < 1 — недодемпфирование. Для получения более подробной информации о ди­намических характеристиках надо обратиться к специализированной литературе, например, [39].

Математическое моделирование датчика является мощным инструментом для прогнозирования его характеристик. Моделирование бывает двух типов: ста­тическое и динамическое. Статические модели обычно используют передаточ­ную функцию датчика в том виде, как она представлена во второй главе. В этой главе дано краткое описание способов оценки динамических характеристик си­стемы. В состав динамических моделей могут входить несколько независимых переменных, одной из которых всегда является время. Рассматриваемые моде­ли соответствуют представлению датчиков в виде систем с сосредоточенными параметрами. В этом разделе все математические модели строятся на примене­нии законов физики к отдельным элементам системы. Другими словами, при разработке модели датчик разбивается на отдельные элементы, и каждый эле­мент рассматривается отдельно. После этого математические описания инди­видуальных элементов объединяются в единую модель, описывающую поведе­ние всей системы в целом.

Механические элементы

Динамический механический элемент можно представить в виде массы (инерци­онного компонента), соединенной с пружиной и демпфирующим устройством. При вязкостном демпфировании и прямолинейном перемещении удерживающая сила пропорциональна скорости движения. Аналогично этому и при круговом дви­жении удерживающая сила всегда пропорциональна угловой скорости. Поэтому сила или крутящий момент, формируемые штоком или пружиной, как правило, также пропорциональны перемещению. В таблице 3.4 приведены основные урав­нения для некоторых механических элементов.

Таблица 3.4. Механические, тепловые и электрические аналогии

3 14 Динамические модели чувствительных элементов

Самый простой способ вывода уравнений движения - вьщеление каждого инерционного элемента (массы) и рассмотрение его как свобод­ного тела. При этом предполагается, что все сво­бодные компоненты начинают свое движение из положения равновесия, а удерживающие силы или моменты, возникающие при перемещении, возвращают их снова на исходную позицию. При выполнении этих условий к каждому элементу

можно применить второй закон Ньютона и вы-

вести из него уравнение движения.

Для прямолинейного движения и совмес­
тимых систем единиц измерения второй закон Ньютона формулируется следующим образом: сумма сил, действующих на тело, равна произве- дению его массы наускорение. В системе СИ сила
измеряется в ньютонах (Н), масса в килофам­
мах (кг), а ускорение в м/с².

Для вращательного движения закон Нью- тона гласит, что сумма моментов сил, действую- щих на тело, равна произведению его моментаинерции на угловое ускорение. Момент сил изме­ряется в Ньютонхмеф (Нхм), момент инерции в килофаммах на метр квадратный (кгм²), а угловое ускорение - в радианах на секунду в квадрате (рад/с²).

Рассмотрим одноосевой акселерометр, состоящий из инерционного элемента, чье движение преобразуется в электрический сигнал. Для этого, например, можно приме­нить пьезоэлектрический преобразователь. На рис. 3.49А показана механическая мо­дель такого акселерометра. Масса М удерживается пружиной, обладающей коэффи­циентом жесткости к. Движение массы демпфируется успокоительным устройством, обеспечивающим коэффициент затухания b. Инерционный элемент может переме­щаться в корпусе акселерометра только в горизонтальном направлении. Во время дви­жения на устройство действует ускорение dx/dt², а вькодной сигнал пропорционален отклонению массы на расстояние х₀.

Поскольку инерционный элемент может перемещаться только в одном направле­нии, акселерометр имеет только одну степень свободы. На рис. 3.49Б показана диаг­рамма сил, действующих на свободное тело массы М. Отметим, что х₀ равно сумме смещения тела от равновесного состояния х и некоторого фиксированного рассто­яния. Применяя второй закон Ньютона, получаем следующее соотношение:

гдеf — ускорение инерционной массы с учетом ускорения свободного падения:

Глава 3. Физические приципы датчиков

Подставив это выражение в уравнение (3.154), получим требуемое уравнение дви­жения:

Отметим, что каждый член в уравнении (3.156) имеет размерность ньютон (Н). Это выражение является дифференциальным уравнением второго порядка, что означает, что на выходе акселерометра могут появиться нежелательные колеба­ния. На практике, регулируя коэффициент затухания Ь, добиваются состояния критического демпфирования.

Тепловые элементы

Тепловые элементы — это радиаторы, нагревательные элементы, теплоизолято-ры, отражатели и поглотители тепла. При изучении тепловых характеристик дат­чик рассматривается как составная часть измерительной системы, при этом учи­тываются: теплопередача через корпус устройства и монтажные элементы, кон­векция воздуха, обмен тепловыми излучениями с остальными объектами и т.д.

Рис. 3.50.А — тепловая модель нагревательного элемента, Б — электрическая схема с резистивными, емкостными и индуктивными элементами

Вспомним, что тепло передается тремя способами: через теплопроводность, естественную и принудительную конвекцию и тепловое излучение (раздел 3.12). При построении простой модели с сосредоточенными параметрами для опреде­ления изменения температуры объекта можно воспользоваться первым законом термодинамики, по которому скорость изменения внутренней энергии тела рав­на разности втекающего и вытекающего потоков тепла, что очень напоминает задачу об уровне воды в резервуаре, когда в одну трубу вода заливается, а из дру­гой сливается. Тогда тепловой баланс можно выразить в виде уравнения:

где С = М * е — теплоемкость тела (Дж/К), Т — температура (К), ΔQ — интенсивность теплового потока (Вт), М — масса тела (кг), а с — удельная теплоемкость материала (Дж/(кг*К). Интенсивность теплового потока, проходящего через тело, является фун­кцией теплового сопротивления тела, которая на практике часто считается линейной:

3.14. Динамические модели чувствительных элементов 143

где R — тепловое сопротивление (К/Вт), а Т₁-Т_г — градиент температуры на эле­менте, теплопроводность которого рассматривается.

Для иллюстрации этого проанализируем нагревательный элемент, имеющий температуру T_h (рис.3.50А). Элемент покрыт слоем теплоизоляционного материа­ла. Температура окружающей среды равна T₀ Q₁ — это тепло, приложенное к эле­менту, Q₀ — тепловые потери. Из уравнения (3.157) следует, что

а

уравнения (3.158):

Объединив эти два выражения, получим дифференциальное уравнение:

Это уравнение первого порядка является типичным для тепловых систем. Тепло­вые элементы очень стабильны по своей природе, если только не входят в состав устройств с контуром обратной связи. Выходная реакция простого теплового эле­мента на ступенчатое внешнее воздействие характеризуется постоянной време­ни, равной произведению теплоемкости на тепловое сопротивление: τ_T= CR. По­стоянная времени измеряется в секундах, и для пассивных охлаждающих элемен­тов она равна времени, за которое выходной сигнал достигает уровня 37% от на­чального температурного градиента.

Поиск по сайту: