Інтегрування раціональних для дробово-раціональних функцій

1. Інтегрування простих раціональних дробів. До простих раціональних дробів відносяться функції наступних чотирьох типів:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральні числа (m ³ 2, n ³ 2) і b² – 4ac <0 .

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановкою t = ах + b.

I.

II.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів вигляду III.

Інтеграл дробу вигляду III може бути представлений у вигляді:

Тут в загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу вигляду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо вживання вказаної вище формули на прикладах.

Приклад.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax² + bx + c вираз b² – 4aс > 0, то дріб за визначенням не є елементарною, проте її можна інтегрувати вказаним вище способом.

Приклад.

=

=

=

Приклад.

=

=

=

Розглянемо тепер методи інтеграції простих дробів IV типа.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл вигляду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить в цю рівність, братимемо по частинах.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n-1 разів, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу вигляду IV в загальному випадку.

= =

У отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u² + s наводиться до табличного, а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Не дивлячись на складність інтегрування елементарного дробу вигляду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликою степеню n, а універсальність і спільність підходу робить можливою дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад.

=

= = =

= .

2. Інтегрування дробово-раціональних функцій. Відношення двох многочленів ( P_m(x) – многочлен степені m, а Q_n(x) – многочлен степені n ) – називається дробово-раціональною функцією (раціональним дробом).

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена чисельника менше степені многочлена знаменника, тобто m < n, інакше раціональний дріб – неправильна.

Має місце твердження: всякий неправильний раціональний дріб шляхом ділення чисельника на знаменник можна представить у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу, тобто

Наприклад, - неправильний раціональний дріб. Розділимо чисельник на знаменник

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

Отримаємо частку і залишок . Тому

= + .

Теорема.Якщо - правильний раціональний дріб, знаменник Q(x) якою представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників

Q(x)= ,

то цей дріб може бути представлений у вигляді суми простих дробів:

де A_i, A₂,…,B₁, B₂,…,M₁, N₁,…, R₁,S₁,… – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів прибігають до розкладання вихідного дробу на елементарні. Для знаходження величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлени були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових степенях х.

Вживання цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Оскільки , то

Наводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

Таким чином

Приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтеграла:

Поиск по сайту: