 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Безпосереднє інтегрування
Метод безпосереднього інтегруванням заснований на припущенні про можливе значення первісної функції з подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Розглянемо вживання цього методу на прикладі: Потрібно знайти значення інтеграла
Відмітимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, для інтегрування таки методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися сповна визначеними правилами, які наводять до результату, то при знаходженні первісною доводиться в основному спиратися на знання таблиць похідних і первісних. Що стосується методу безпосередньої інтегрування то він застосовується лише для деяких вельми обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче. Метод підстановки (заміни змінної) Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегруванням. При цьому вихідний інтеграл наводиться до нового інтеграла, який є або табличним, або таким, що зводиться до нього. Якщо потрібно знайти інтеграл
Приклади.Знайти невизначений інтеграл: 1. Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.
2. Заміна
Інтегрування по частинам.
Цей метод заснований на відомій формулі похідної твору: (uv)¢ = u¢v + v¢u, де u і v – деякі функції від х. У диференціальній формі: d(uv)= udv + vdu Інтегрування дає:
Отримали формулу інтегрування по частинам, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій. Приклади. 1.
Як видно, послідовне вживання формули інтегрування по частинам дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного. 2.
Видно, що в результаті повторного вживання інтегрування по частинам функцію не удалося спростити до табличного вигляду. Проте, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від початкового. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.
Таким чином, інтеграл знайден взагалі без вживання таблиць інтегралів. Перш ніж розглядати детально методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще декілька прикладів знаходження невизначених інтегралів, які зводяться до табличних. Приклади
Поиск по сайту: |
. На основі відомої формули диференціювання 
можна зробити вивід, що шуканий інтеграл рівний 
, де С – деяке постійне число. Однак, з іншого боку 
. Таким чином, остаточно можна зробити вивід:
і пошук первісної при цьому викликає труднощі, то часто виявляється зручним виробити заміну змінної інтегрування, вважаючи x = j(t) і dx = j¢(t)dt в результаті отримаємо:
.
Отримуємо:
, а відповідно до приведених вище властивостей невизначеного інтеграла:
або 
;
