Визначення.Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [а, b], якщо в будь-якій точці цього відрізку вірна рівність:
F((x)= f(x).
Треба відзначити, що число первісних для однієї і тієї ж функції може бути безконечне багато. Вони відрізнятимуться один від одного на деяке постійне число.
F1(x)= F2(x)+ C.
Визначення.Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням
F(x)+ C.
Позначення невизначеного інтеграла -
. (6.1)
Тут функція f(x) називається підінтегральною, f(x) dx – підінтегральним виразом, х – змінна інтегрування, - позначення операції інтегрування (оператор інтегрування)
Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.
Властивості невизначеного інтеграла
1.
2.
3.
4. де u, v, w – деякі функції від х.
5.
Приклад:
Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язане головним чином із знаходженням первісної функції. Для деяких функцій така задача виявляється складною, або неможливою. У останньому випадку мається на увазі, що первісна функція не є елементарною. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показникових і ін.
Таблиця основних невизначених інтегралів
З визначення первісної функції виходить, що інтегрування є операція, зворотна диференціюванню. Тому для перевірки правильності виконання інтегрування потрібно продиференціювати результат і отримати при цьому підінтегральну функцію. Для зручності проведення інтегрування нижче наводиться таблиця основних невизначених інтегралів.
Таблиця інтегралів
Інтеграл
Значення
Інтеграл
Значення
-ln½cosx½+C
ex + C
ln½sinx½+ C
sinx + C
-cosx + C
tgx + C
-ctgx + C
ln
arcsin + C
Інтеграли цієї таблиці прийнято називати табличними.
Якщо операції диференціювання не виводить нас з області елементарних функцій, тобто результат диференціювання також є елементарною функцією, то для операції інтегрування справа зовсім інакша: інтеграли від деяких елементарних функцій вже не є елементарними функціями. Наведемо приклади деяких з них:
- інтеграл Пуассона (інтеграл помилок) ;
- інтегральний логарифм;
- інтегральний синус.
Інтеграли, що приведені вище, прийнято називати інтегралами, що не «беруться». Кожен з цих інтегралів не є елементарною функцією, проте вони мають велике значення в прикладній математиці.