Через координаты сомножителей. Матрица Грама

Пусть в евклидовом n-мерном пространстве задан некоторый базис . Разложим векторы по базису :

где координатные вектор-столбцы векторов в базисе ( ).

Выразим скалярное произведение векторов через координаты сомножителей:

где обозначено . Последнее равенство можно переписать в матричной форме

, (3.5)

где матрица

(3.6)

Определение 3.4.Матрица (3.6) порядка называется матрицей Грама системы векторов базиса .

Замечание 3.3. Матрица Грама может быть построена, вообще говоря, для любой произвольной системы векторов евклидова пространства. В этом случае мы получаем матрицу -го порядка:

(3.7)

Сформулируем простейшие свойства матрицы Грама.

Теорема 3.3. Матрица Грама является симметрической ( ).

□ Справедливость утверждения вытекает из аксиомы евклидова пространства: . ■

Теорема 3.4 (критерий Грама линейной зависимости системы векторов). Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы равен нулю.

□ Необходимость. Пусть система векторов является линейно зависимой. Тогда существуют числа , среди которых существует по крайней мере одно ненулевое такие, что

.

Умножая последовательно последнее равенство скалярно на векторы , получим однородную систему, состоящую из уравнений:

.

Определителем этой системы является определитель матрицы Грама системы векторов . Так как эта система имеет ненулевое решение

,

то определитель матрицы Грама этой системы равен нулю.

Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке. ■

Теорема 3.5 (изменение матрицы Грама при переходе к другому базису). Пусть в евклидовом пространстве заданы базисы

, .

Связь между матрицами Грама и для этих базисов описывается равенством

, (3.8)

где матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство теоремы построено на использовании равенства (3.5) и формул преобразования координат при переходе от базиса к базису.

Пример 3.1. В линейном пространстве со скалярным произведением заданы базисы и :

.

Записать матрицы Грама и для базисов и , проверить выполнимость равенства (3.8).

Решение.Составим матрицы Грама и для базисов и . Вычислим элементы

, ( )

этих матриц. Имеем

В результате получим матрицы

,

.

Нетрудно убедиться в справедливости равенства (3.8), которое в нашем случае имеет вид , где

, ,

.

Поиск по сайту: