Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Нормированные пространства



В евклидовом пространстве обобщением понятия длины вектора является его норма.

Определение 3.2.Функцию, заданную на линейном пространстве , которая каждому вектору ставит в соответствие действительное число , называют нормой вектора, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

, причем ;

, ;

, при всех (неравенство треугольника).

При этом линейное пространство , в котором введена норма , называется нормированным пространством.

Отметим, что евклидовы пространства и нормированные пространства есть линейные пространства с дополнительными структурами – скалярным произведением и нормой соответственно. При этом если в линейном пространстве введено скалярное произведение, то исходя из этого скалярного произведения можно ввести и норму в этом пространстве, то есть превратить его в нормированное пространство.

Теорема 3.2. Если – евклидово пространство со скалярным произведением , то есть нормированное пространство с евклидовой нормой

. (3.2)

□ Докажем, что норма при помощи формулы (3.2) введена корректно (докажем выполнимость аксиом ).

Выполнимость аксиомы следует из аксиомы определения евклидова пространства.

Выполнимость аксиомы доказывается непосредственно:

, .

Выполнимость аксиомы доказывается с использованием неравенства Коши-Буняковского, которое выполняется в силу того, что ­– евклидово пространство:

Приведем далее различные способы введения норм в двух евклидовых пространствах и .

Рассмотрим пространство . В нем норму определяют одним из четырех способов:

1) Введение нормы через стандартное скалярное произведение (евклидова норма или -норма):

.

2) Введение нормы через скалярное произведение в виде билинейной формы:

,

где симметрическая ( , ) положительно определенная матрица -го порядка.

3) -норма или октаэдрическая норма:

.

4) -норма или кубическая норма:

.

В пространстве матриц размера норму можно вводить различными способами. Наиболее часто используется подход, связанный с введением так называемой индуцированной нормы.

Определение 3.3.Если в пространстве введена норма (см. выше), то индуцированной (подчиненной) нормой в пространстве называется

.

При этом норма в пространстве называется порождающей норму в пространстве .

Задавая различные нормы в , мы будем получать индуцированные нормы в (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

Норма в Индуцированная норма в
евклидова норма или -норма евклидова норма или -норма . По-другому называется спектральной нормой
-норма максимальная столбцевая или октаэдрическая норма
-норма: максимальная строчная или кубическая норма

Другой подход с введением нормы в пространстве связан с тем, что это пространство интерпретируют как линейное пространство размерности . Тогда можно ввести еще две нормы:

1) -норма ,

2) -норма .

В пространстве , элементами которого являются многочлены относительно переменной степеней, не превосходящих натуральное число :

,

евклидову норму можно ввести одним из следующих способов:

,

,

где попарно различные действительные числа, .

В любом евклидовом пространстве можно ввести понятие косинуса угла между двумя векторами. В силу неравенства Коши-Буняковского можно записать неравенство

. (3.3)

Определение 3.3.Углом между ненулевыми векторами в евклидовом пространстве называется значение от до , определяемое из равенства

. (3.4)

Заметим, что угол между ненулевыми векторами определен корректно в силу неравенства (3.3), то есть

.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.