Теоретический материал. Определение 1

Определение 1. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Определение 2. Место, которое занимает цифра в записи числа, по-другому называют разрядом. Разряды нумеруются (первый, второй, третий и так далее), или называются единицы, десятки, сотни…

Определение 3.Развернутой формой записи числа называется запись в виде A_q=±(a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+…+a_-mq^-m), где A_q – число, q – основание системы счисления, a_i – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Перевод чисел в различные системы счисления

1. Для того чтобы перевести десятичное число в какую-либо систему счисления, необходимо выполнить последовательное деление данного числа и получаемых неполных частных на основание системы, в которую его требуется перевести, до тех пор пока не получим в неполное частное меньше делителя. Для записи числа в новой системе счисления, выписываются последнее частное и полученные остатки в направлении от последнего к первому.

Пример 2.1. Перевести из десятичной системы счисления в двоичную число 564.

Решение

0

и

л

и

564₍₁₀₎ =1000110100₍₂₎.

Ответ: 1000110100₍₂₎.

2. Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной форме и вычислить по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 2.2. Перевести число 10011101₍₂₎ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение

10011101₍₂₎ = 1·2⁷+0·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰=128+16+8+4+1=157₍₁₀₎.

Ответ: 157₍₁₀₎.

3. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 8 (16), нужно:

· данное двоичное число разбить справа налево на группы по 3 (4) цифры в каждой;

· если в последней группе окажется меньше разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

· заменить каждую группу соответствующей цифрой в восьмеричной (шестнадцатеричной) системе счисления.

4. Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием 8 (16) перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить соответствующей триадой (тетрадой).

Таблицы соответствия цифрам тетрад и триад.

Пример 2.3. Перевести в шестнадцатеричную и восьмеричную систему счисления двоичное число.

Решение

011010011₍₂₎=323_(8).

11010011₍₂₎=D3_(16).

5. Для перевода в недесятичную систему счисления дробного десятичного числа необходимо выполнить последовательное умножение дробных частей исходного числа и получаемых чисел на основание новой системы, до тех пор пока не будет получено целое число. Затем записать полученные целые части в порядке их получения.

Пример 2.4. Перевести в двоичную систему счисления дробное десятичное число 15,1875₍₁₀₎.

Решение

15,1875₍₁₀₎=1111,0011₍₂₎.

Пример 2.5. Перевести в десятичную систему счисления число 1216,04₍₈₎.

Решение

1216,04₍₈₎ = 1·8³ + 2·8² + 1·8 + 6·8⁰ + 0·8^-1 + 4·8^-2 = 512 + 32 + 8 + 6 + 0,0625 = = 558,0625_(10).

Арифметика в позиционных системах счисления

При сложении двух чисел в одной системе счисления используют правило столбика: числа записываются друг над другом, так чтобы места одинаковых разрядов совпадали.

Вычисления ведутся последовательно, начиная с самого наименьшего разряда. Суммирование ведется по правилам принятым в данной системе. При этом иногда производится перенос единицы в больший разряд.

Операцию умножения производят в два действия:

1) поразрядное умножение одного числа на цифру другого;

2) размещение полученных результатов в виде столбика со сдвигом разрядов до последующего сложения.

Удобно умножать поразрядно на то число, которое имеет меньше разрядов.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 2.6. Найти сумму двоичных чисел 10000000100₍₂₎ и 111000010₍₂₎.

Решение

Сложение проще всего выполнять в столбик, записывая, как и в десятичной системе, разряды второго числа под соответствующими разрядами первого.

Пример 2.7. Найти разность двоичных чисел 10010110₍₂₎ и 1101011₍₂₎.

Пример 2.8. Найти сумму и разность восьмеричных чисел 215,4₈ и 73,6₈

Пример 2.9. Найти сумму и разность шестнадцатеричных чисел 27D,D8₍₁₆₎ и 191,2₍₁₆₎.

Пример 2.10. Найти произведение чисел 100111₍₂₎ и 1000111₍₂₎.

Пример 2.11. Найти произведение чисел 163₍₈₎ и 63₍₈₎.

Пример 2.12. Найти произведение чисел 61,A₍₁₆₎ и 40,D₍₁₆₎.

Двоично-десятичная система

Пример 2.13. Перевести число –56,5₍₁₀₎ в двоично-десятичную систему.

Решение

Число имеет 3 цифры и знак «минус», следовательно, потребуется 3 двоичные тетрады для цифр и одна для знака. Причем, знаковая тетрада всегда записывается последней.

5 = 0101; 6 = 0110; “–“ = 1101 (“+”= 1100).

Окончательно получаем 01010110,01011101_(2-10).

Пример 2.14. Перевести число 100000101101100_(2-10) из двоично-десятич­ной системы в десятичную.

Решение

Разобьем данное число на тетрады, двигаясь справа налево, и заменим их соответствующими цифрами и знаком.

0100’0001’0110’1100_(2-10) = 416₍₁₀₎.

Примечание: первая справа тетрада кода отводится на знак: 1100 = “+” или 1101 = “–“.

Прямой, обратный и дополнительный код

Примем сокращения для обозначения кодов: пр – прямой, об – обратный, доп – дополнительный.

Для получения прямого кода числа нужно дополнить слева двоичную запись таким количеством незначащих нулей, сколько требует заданный тип. Первая левая цифра кодирует знак числа: 0 – положительное, 1 – отрицательное. Кодовый разряд будем отделять точкой.

Пример 2.15. Представить в прямом, обратном и дополнительном кодах, форматах Integer (16 разрядов), Longint (32 разряда) числа.

а) 88₍₁₀₎.

Решение

1. Переведем данное число в двоичную систему счисления.

88₍₁₀₎ = 1011000₍₂₎.

2. Известно, что для положительного числа все три кода совпадают, то есть

[88₁₀]_пр = [88₁₀]_обр = [88₁₀]_доп = 0.000000001011000 – тип Integer;

[88₁₀]_пр = [88₁₀]_обр = [88₁₀]_доп = 0.0000000000000000000000001011000 – тип Longint.

б) – 45.

Решение

45₍₁₀₎ = 101101₍₂₎.

Запишем прямой код числа (– 45):

[– 45₁₀]_пр = 1.000000000101101 – тип Integer.

Для получения обратного кода инвертируем все цифры прямого кода, за исключением знакового разряда.

[– 45₁₀]_обр = 1.111111111010010 – тип Integer.

Прибавив к обратному коду 1, получим дополнительный код отрицательного числа.

[– 45₁₀]_доп = 1.111111111010011 – тип Integer.

Для типа Longint коды имеют вид:

[– 45₁₀]_пр = 1.0000000000000000000000000101101;

[– 45₁₀]_обр = 1.1111111111111111111111111010010;

[– 45₁₀]_доп = 1.1111111111111111111111111010011.

Выполним обратную задачу.

Пример 2.16. Записать число, соответствующее двоичному коду.

а) 0.000000000010110.

Решение

Так как в старшем разряде 0, то число положительное. Значит, прямой, обратный и дополнительный код совпадают. Отбросим незначащие нули и переведем оставшееся двоичное число в десятичную систему счисления.

10110₂ = 16 + 4 + 2 = 22₁₀.

Ответ: 22₁₀.

б) 1.111111111000000.

Решение

Так как в старшем разряде 1, то число отрицательное. Для получения числа из его кода применим алгоритм, обратный алгоритму получения кода.

1. Вычтем 1 из данного кода.

2. Инвертируем полученное число, оставив без изменения первый разряд: 1.000000001000000.

3. Отбросим все незначащие нули и переведем двоичное число в десятичную систему: 1000000₂ = 64₁₀. С учетом знакового разряда, получаем число – 64₁₀.

Ответ: – 64₁₀.

Правила сложения и вычитания для двоичных кодов положительных и отрицательных чисел:

А – В = А + (–В)

–А + В = (–А) + В

–А – В = (–А) + (–В)

Пример 2.17. Представить в дополнительном коде в формате Integer числа 451 и 228 и выполнить их сложение и вычитание в соответствующих кодах.

Решение

1. Найдем дополнительные коды данных чисел. Так как оба числа положительны, то их дополнительные коды равны прямым.

[451]_доп = 0.000000111000011;

[228]_доп = 0.000000011100100.

2. Выполним сложение дополнительных кодов по обычным правилам сложения двоичных чисел.

3. Найдем разность 451 – 228.

Для отыскания разности кодов воспользуемся правилом замены разности суммой: А–В=А+(–В). Тогда получаем 451 – 228 = 451 + (–228). Видим, что нам понадобится найти дополнительный код числа –228.

[–228]_доп = 1.111111100011100.

Выполним сложение:

Ответ: код суммы – 0.000001010100111;

код разности – 0.000000011011111.

Нормализованный код

Рассмотрим представление дробного числа в четырехбайтовой ячейке памяти. Это число типа Single. В ячейке должна содержаться следующая информация: код знака числа, машинный порядок и мантисса.

В старшем разряде первого байта хранится машинный порядок. 2, 3, 4 байты отводятся под мантиссу.

Связь между машинным порядком и математическим выражается формулой

М_р1 = р + 64 или М_р2 = р₂ + 1000000₂.

Пример 2.18. Записать код действительного числа 250,1875, интерпретируя его как величину типа Single.

Решение

1. Переведем число в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.

Недостающие до 24 разрядов дополним нулями справа:

250,1875₁₀=11111010,0011000000000000₂.

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0,111110100011000000000000·2⁸ или 0,111110100011000000000000·10¹⁰⁰⁰.

3. Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления:

М _p2 = 1000 + 1000000 = 1001000.

4. Запишем код числа в четырехбайтовой ячейке памяти с учетом его знака:

5. В шестнадцатеричной системе счисления полученный код примет вид 48FA3000.

Поиск по сайту: