Задачи для самостоятельной работы

1. Решить уравнения:

а) ; б) ;

в) ;

г) .

2. Вычислить , если .

3. При каких и справедливо равенство , если , ?

4. Найти действительные и мнимые части следующих выражений: а) ; б) .

5. Найти множество точек, удовлетворяющих уравнению

.

6. Изобразить множество точек, удовлетворяющих уравнению .

7. Найти множество точек, удовлетворяющих двойному неравенству .

8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

9. Изобразить на комплексной плоскости точки, удовлетворяющие неравенствам:

а) ; б) ;

в) .

10. Записать с помощью неравенств и изобразить на комплексной плоскости следующие открытые множества точек комплексной плоскости:

а) полоса, состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на расстояние, меньшее двух единиц;

б) внешность круга с центром в точке
и радиусом 2;

в) внутренность прямого угла, лежащего в правой полуплоскости, с вершиной в точке , симметричного относительно действительной оси.

11. Найти множество точек, равноудаленных
от точки и прямой .

12. Изобразить на комплексной плоскости линию, заданную уравнением , .

13. Доказать тождество . Используя доказанное тождество, изобразить на комплексной плоскости линию, заданную уравнением

( ).

14. Изобразить на комплексной плоскости все значения выражения .

15. Найти , если .

16. Решить уравнение .

Корни уравнения представить в показательной форме.

17. Решить уравнение .

Корни уравнения представить в алгебраической форме.

18. Доказать справедливость равенства .

19. Вычислить значение функции

а) в точке ;

б) в точке ;

в) в точке ;

г) в точке ;

д) в точке ;

е) в точке ;

ж) в точке ;

з) в точке .

20. Найти:

а) ; б) ; в) .

21. Доказать справедливость равенств:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

22. Найти:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

23. Найти образ точки при отображении .

24. Найти образ в комплексной плоскости прямой , заданной в комплексной плоскости при отображении .

25. Найти образы координатных осей и при отображении .

Ответы

1. а) или ; б) , где ;

в) ; г) , .

2. . 3. , .

4. а) , :
б) ; .

5. Точки окружности .

6. Множество точек параболы .

7. Внутренние точки кольца с центром в точке , внутренним радиусом , внешним радиусом .

Рис. 20 Рис. 21

8. Точки, лежащие внутри области, ограниченной окружностью радиуса 1 с центром в точке (1,0) (рис. 20).

9 а) рис.21; б) рис. 22; в) рис.23.

Рис.22 Рис.23

10. а) (рис.24);
б) (рис.25);
в) (рис.26).

Рис.24

Рис.25 Рис.26

11. Множество точек параболы .

12. Гипербола .

13. Правая ветвь гиперболы .

14. Рис. 27. , , , ,

, .
15. 64. 16. , .

7. , .
19. а) ,
б) ;
в) ;
Рис. 27 г)
д) ;е) ;

ж) ; з) .

20. а) ; б) ; в) .

22. а) ;
б) ;
в) ; г); ;
д) . 23. .

24. . 25.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА........................................................3

1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая

форма комплексного числа.............................................................3

2. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа.......................................................................15

Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................18

Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................22

Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа.......................................................................23

ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................25

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................28

1. Показательная функция комплексного переменного.............29

2. Логарифмическая функция комплексного переменного.......29

3. Тригонометрические функции комплексного
переменного...................................................................................31

4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного...................................................................................34

5. Гиперболические функции комплексного переменного.......37

6. Обратные гиперболические функции......................................39

Задачи для самостоятельной работы...........................................40

Ответы.............................................................................................42

Учебное издание

Поиск по сайту: