Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа



 

Извлечь корень целой положительной степени из числа значит найти такое число , -ая степень которого равна .


Пусть . Тогда и , откуда , и , откуда

, (10)

т. е. , .

(10) - формула для извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа .

Пример 19 Представить следующие выражения в алгебраической форме: а) ; б) .

Решение. а) , , откуда и .

б)

При и

при .●

Пример 20. Решить уравнение и изобразить корни этого уравнения на комплексной плоскости.

Решение.

Подставляя последовательно , , и , получим четыре различных корня исходного уравнения:


, ,

и

(рис. 15).●

 

Рис. 15

 

ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОгоПЕРЕМЕННОго.

Понятие функции комплексного переменного вводится по аналогии с понятием функции действительной переменной.

Определение. Величина называется функцией комплексного переменного в области , если задан закон, по которому каждому значению , ставится в соответствие одно или несколько значений .

Это соответствие обозначается в виде .

Определение. Переменную называют независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной или функцией.

Пусть .
Тогда из имеем и .

Определение. Если каждому значению поставлено в соответствие одно и только одно значение , то функцию называют однозначной, а если несколько значений – то многозначной.

Определение. Множество значений , где , называется областью значений функции и обозначается это множество через .


Геометрически можно рассматривать , заданную на , как отображение области плоскости (рис. 16) в некоторую область плоскости .

Рис. 16

Определение. Если , то точка называется образом точки при отображении , а точка называется прообразом точки .

Замечание. Иногда удобно совмещать плоскости и . Тогда функция «перемещает» точку в точку (рис. 17).

Рис. 17 Например, при отображении образом точки является точка

, т. е

функция «перемещает» точку в точку . Очевидно, .

Пример 21 Найти образ точки , если отображение задано формулой .

Решение. .

Пример 22. Найти уравнения линий в плоскости , на которые с помощью функции отображаются прямые и .

Решение. , , откуда

, . (11) Подставляя в уравнения (11), получим , , откуда . Это , уравнение

параболы, симметричной относительно оси .

Подставляя в уравнения (11), получим , , т.е. еще одну параболу (рис. 18).●

Рис. 18 Пример 23. Найти образ окружности при отображении .


Решение 1. Так как , то , т. е. образом окружности при указанном отображении является окружность .

Решение 2. , откуда .

Так как , то , , и , т.е. образом окружности при отображении является окружность .●

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Рассмотрим некоторые элементарные функции комплексного переменного, а именно, показательную функцию , логарифмическую функцию , тригонометрические - , , , и, обратные тригонометрические функции , , , ,а также гиперболические функции , , , и обратные к ним функции , , , ).


 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.