Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексные числа и элементарные функции комплексного переменного

Учебно- методическое пособие для студентов

технических специальностей

Ижевск

Издательство ИжГТУ

УДК

Рецензент Селетков С.Г., д.т.н., проф., зав. кафедрой
«Высшая математика» ИжГТУ

Составители: Гусельникова Г.В. ,канд. физ.-мат. наук, проф.,

Ракита Н.В., доц.

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры «Высшая математика» ИжГТУ (протокол № от декабря 2011 г.)

Комплексные числа и элементарные функции комнлексного переменного :учеб.- метод. пособие / составители: Г.В. Гусельникова, Н.В. Ракита.
Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2011. с.

УДК

Учебно- методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов , изучающих данный раздел математики как вспомогательный материал для основной программы. Может быть использовано как дополнительный ресурс студентами, изучающими функции комплексного переменного по программе.

Г.В. Гусельникова, Н.В. Ракита, составление, 2011

Ижевский государственный технический университет, 2011

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Понятие комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел При этом действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а действительное число называется мнимой частью числа и обозначается .

Рис. 1 Каждому комплексному числу
можно поставить в соответствие точку и вектор плоскости (рис. 1), при этом плоскость называют комплексной плоскостью .

Вектору ставится в соответствие действительное число , т. е. , а вектору ставится в соответствие число 1, т. е. . Началу координат, т. е. вектору ставится в соответствие число 0.

Определение. Комплексное число называют мнимой единицей и обозначают .

Определение. Два комплексных числа и называются равными в том и только в том случае, если равны их действительные и равны их мнимые части, т.е.

или .

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Очевидно,

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Очевидно,

Из предыдущих определений следуют равенства:

,

,

,

,

.

Комплексное число может быть представлено в форме или .

►Действительно, .◄

Определение. называют алгебраической формой комплексного числа .

- (1)

алгебраическая форма комплексного числа .

Покажем, что вычисление суммы и произведения двух комплексных чисел в алгебраической форме можно производить по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов, т.е.
и .

►Пусть и . Тогда

.

Учитывая, что , имеем ◄

Произведение действительного числа на комплексное число равно .

►Действительно, , , т.е. .◄

Сумма двух комплексных чисел обладает следующими очевидными свойствами:

(коммутативность сложения);

(ассоциативность сложения).

Геометрически сумму двух комплексных чисел и можно изобразить как вектор, являющийся суммой векторов и
(рис. 2).

Непосредственной проверкой

Рис. 2 можно установить, что произведение

двух комплексных чисел обладает следующими свойствами:

(коммутативность произведения);

(ассоциативность произведения);

(дистрибутивность).

, поэтому может быть определено как .

Пример 1. Составить квадратное уравнение, корни которого равны и .

Решение. Пусть искомое квадратное уравнение. По теореме Виета и .

Тогда , и искомое уравнение имеет вид .

Определение. Два комплексных числа, действительные части которых равны, а мнимые части равны по модулю, но противоположны по знаку, называются сопряжёнными.

Число, сопряженное числу , обозначается и (рис. 3). и

Рис. 3 ..
Сумма и произведение сопряжённых комплексных чисел и есть действительные числа, равные соответственно и .

Пример 2. Вычислить , если .

Решение. .●

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение , откуда следует .

Решая полученную систему, имеем .

Определение. Число называют модулем комплексного числа и обозначают его .

. (2)

Очевидно, модуль комплексного числа равен расстоянию точки от начала координат и .

Разность двух комплексных чисел и можно рассматривать как сумму . Тогда .

Частное двух комплексных чисел и может быть вычислено следующим способом .

Пример 4. При каких действительных значениях и выполняется условие , если и ?

Решение. .

и , откуда и , ●

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. , , и ,
откуда . Все точки параболы являются решениями данного уравнения. Уравнение имеет бесконечное множество решений. ●

Пример 6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение.

Рис. 4 Данному неравенству

удовлетворяют все точки заштрихованной полуплоскости, исключая начало координат(рис. 4). ●

Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение.


Рис. 5

Данному неравенству удовлетворяет все точки круга (рис. 5)
радиуса 1 с центром в точке , исключая точку ). ●

Пример 8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение.

Рис. 6

Данной системе неравенств удовлетворяют все точки круга радиуса с центром в точке , исключая точку
(рис. 6). ●

Пример 9. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

Решение.

Указанной системе неравенств удовлетворяют точки заштрихованной области (рис. 7).●

Рис. 7

Модуль разности чисел и равен
,
, откуда следует, что есть расстояние между точками с координатами и .

Пусть - данное комплексное число (данная точка),
- данное действительное число.

Множество точек , удовлетворяющих уравнению , есть множество точек плоскости, отстоящих от точки на расстоянии , т.е. есть уравнение окружности с центром в точке радиуса , в частности, - окружность радиуса с центром в начале координат.

Неравенству , удовлетворяют очки, отстоящие от точки на расстояние меньшее , т.е. находящиеся внутри круга с центром в точке радиуса .

Например, уравнение определяет окружность радиуса с центром в точке , а неравенство определяет внутренность и границу круга радиуса с центром в точке .

Пример 10. Найти множество точек, удовлетворяющих неравенствам , Изобразить найденное множество на плоскости.

Решение. Искомое множество должно одновременно удовлетворять неравенствам и . Первое неравенство определяет внешность единичного круга с центром в точке , а второе – внутренность круга радиуса с центром в точке . Следовательно, множество точек, удовлетворяющих неравенствам , есть кольцо ограниченное концентрическими окружностями радиусов и
Рис. 8 с центром в точке (рис. 8).●

Пример 11 Определить тип линии, заданной уравнением

Решение. Так как есть сумма расстояний точки от двух точек и , то определяет эллипс с фокусами в точках , и большей осью, равной .

(Эллипс есть геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний от двух фиксированных точек есть величина постоянная). ●

Пример 12. Найти множество точек плоскости,
для которых расстояние от точки в два раза больше, чем от точки .

Решение. Так как расстояние точки от точки равно , то из условия задачи имеем , откуда
- множество точек окружности радиуса с центром в точке .●

Если уравнение линии в декартовой системе координат задано в параметрической форме то уравнение этой же линии в плоскости может быть записано одним уравнением .

Например, уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в начале координат. Действительно, , и .

Пример 13. Определить линии, заданные уравнениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение. 1) , откуда , и .

Уравнение определяет прямую, , проходящую через начало координат;

2) , откуда , и - гипербола (рис. 9);

3) , откуда , и , т.е. - ветвь гиперболы , лежащая в первой четверти (рис. 10);

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

4) , откуда , и , причём, Следовательно, - часть гиперболы , для которой (рис. 11).

Поиск по сайту: