Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах



Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

Пусть и . Тогда
. Из последнего имеем .

Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а главное значение аргумента произведения с точностью до равно сумме аргументов сомножителей. Рис. 14 Из предыдущего следует, что при геометрическом умножении комплексного числа на вектор нужно повернуть вокруг начала координат на угол и растянуть полученный вектор в раз (рис. 14).

Очевидно, что для сопряженных комплексных чисел имеют место следующие формулы:

; ; .

Утверждение. Если , то

(7)

► Воспользуемся методом полной математической индукции. Доказано, что .


Предположим, что (при это равенство справедливо).

Тогда .

Следовательно, формула (7) справедлива при . ◄

Следствие. Если , то

. (8)

Формула (8) есть формула для возведения в целую положительную степень комплексного числа, заданного
в тригонометрической и показательных формах.

Из формулы (8) следует

,

(с точностью до ).

При из формулы (8) получим формулу Муавра

.

Из формулы Муавра можно легко выразить и через степени и .

Например,


,
откуда, сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей равенства, имеем

,

Пример 16. Упростить выражение .

Решение.

.

Так как , то .
.●

Пример 17. Найти , если .

Решение.

,

откуда , или .

, .
. ●


Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Для комплексных чисел и частное
может быть записано в следующем виде , откуда следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а главное значение аргумента частного с точностью до равно разности аргументов делимого и делителя.

(9)

Пример 18. Представить в показательной форме числа

а) ; б) .

Решение. а) . Для этого числа . , поэтому .


б)Найдем модуль и аргумент числа , предварительно представив его в алгебраической форме. . - алгебраическая форма данного числа и ,
, .

Так как действительная и мнимая части числа отрицательны, то главное значение аргумента равно , т.е. и

.

Замечание. При сложении и вычитании комплексных чисел, как правило, целесообразнее использовать алгебраическую форму этих чисел. При умножении, возведении в степень и извлечении корня более рациональным может оказаться тригонометрическая или показательная форма.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.