Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

Пусть и . Тогда
. Из последнего имеем .

Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а главное значение аргумента произведения с точностью до равно сумме аргументов сомножителей. Рис. 14 Из предыдущего следует, что при геометрическом умножении комплексного числа на вектор нужно повернуть вокруг начала координат на угол и растянуть полученный вектор в раз (рис. 14).

Очевидно, что для сопряженных комплексных чисел имеют место следующие формулы:

; ; .

Утверждение. Если , то

(7)

► Воспользуемся методом полной математической индукции. Доказано, что .

Предположим, что (при это равенство справедливо).

Тогда .

Следовательно, формула (7) справедлива при . ◄

Следствие. Если , то

. (8)

Формула (8) есть формула для возведения в целую положительную степень комплексного числа, заданного
в тригонометрической и показательных формах.

Из формулы (8) следует

,

(с точностью до ).

При из формулы (8) получим формулу Муавра

.

Из формулы Муавра можно легко выразить и через степени и .

Например,

,
откуда, сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей равенства, имеем

,

Пример 16. Упростить выражение .

Решение.

.

Так как , то .
.●

Пример 17. Найти , если .

Решение.

,

откуда , или .

, .
. ●

Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Для комплексных чисел и частное
может быть записано в следующем виде , откуда следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а главное значение аргумента частного с точностью до равно разности аргументов делимого и делителя.

(9)

Пример 18. Представить в показательной форме числа

а) ; б) .

Решение. а) . Для этого числа . , поэтому .

б)Найдем модуль и аргумент числа , предварительно представив его в алгебраической форме. . - алгебраическая форма данного числа и ,
, .

Так как действительная и мнимая части числа отрицательны, то главное значение аргумента равно , т.е. и

.

Замечание. При сложении и вычитании комплексных чисел, как правило, целесообразнее использовать алгебраическую форму этих чисел. При умножении, возведении в степень и извлечении корня более рациональным может оказаться тригонометрическая или показательная форма.

Поиск по сайту: