Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Средние структурные величины



В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины — моду и медиану.

Медиана (Ме) — это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Медиана в интервальныхвариационных рядах рассчитывается по формуле:

, (1.17)

где х0 — нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

— величина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала.

Также в интервальных вариационных рядах медиана может быть найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого

или . (1.18)

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: .

Модой(Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения — отношение частоты интервала к его величине ni/hi — в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

, (1.19)

где хо нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

, , — частота ni (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения ni/hi (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, до и послемодального интервала.

Мода так же, как и медиана обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Если в совокупности первичных признаков нет повторяющихся значений, то для определения моды проводят группировку.

Графически отобразить моду по гистограмме можно следующим образом: нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в угол последующего столбца, а из правого угла — в верхний правый угол предыдущего столбца, абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности. Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и есть медиана (рисунок 1.1)

 
   


Рис. 1.1 Графическое отображение интервального вариационного ряда

В симметричных рядах имеет место следующее соотношение моды, медианы и средней арифметической (1.20).

В случае, если (1.21), имеет место левосторонняя асимметрия ряда.

В случае, если (1.22), имеет место правосторонняя асимметрия ряда.

Мода и медиана,в отличие от степенных средних, являются конкретными характеристиками ряда. Медиана — характеризует центр, вычисляется проще и не чувствительна к концам интервала. Мода — наиболее вероятное значение в изучаемой совокупности (например, наиболее возможные результаты).

1 2 3

1 — распределение с левосторонней асимметрией

2 — распределение с правосторонней асимметрией

3 — нормальное (симметричное) распределение

Анализ вариационных рядов

Показатели вариации

Вариациейназывается изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление. Вариация бывает случайной и систематической, существует в пространстве и во времени. Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Показатели вариации

  Показатель Формула расчета показателя
простой взвешенный
Абсолютные Размах (2.1)
Среднее линейное отклонение (2.2) * (2.3)
Дисперсия σ2 (2.4) (2.5)
Среднее квадратическое отклонение (2.6) (2.7)
относительные Коэффициент вариации (2.8)
Линейный коэффициент вариации (2.9)
Коэффициент осцилляции (2.10)

* — Здесь fi — частота ().

Относительные показатели (коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции) строятся с учетом базы (в виде средней), выражаются в процентах и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации

. (2.11)

Для расчета дисперсии можно использовать модифицированную формулу:

. (2.12)

Выведем эту формулу из формулы (2.5)

Для расчета дисперсии можно использовать способ отсчета от условного нуля, который позволяет упростить вычисления при больших значениях признака. Тогда дисперсия вычисляется по формуле:

, (2.13)

где h — величина интервала;

А — условный нуль, в качестве которого можно использовать как середину серединного интервала, так и середину интервала с наибольшей частотой.

Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Если у всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится

. (2.14)

Это значит, что дисперсию можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа, например условного нуля (см. формулу 2.13).

3.Если все значения вариантов разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится в А2 раз:

. (2.15)

4.Если распределение признака близко к нормальному или симметричному, то по правилу мажорантности (т.к. среднее квадратическое отклонение — средняя геометрическая величина, а среднее линейное отклонение — средняя арифметическая) среднее квадратическое отклонение больше среднего линейного отклонения (), причем

, . (2.16)

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение — это именованные величины. Единицей измерения у них и у исходных значений признака совпадают. Дисперсия может быть задана в ед.2 признака или в % отклонений.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.