1. Сложение матриц. Если и - матрицы одинаковых размеров, то их суммой называют матрицу того же размера , элементы которой .
2. Умножение матрицы на скаляр. Произведением матрицы на скаляр a называют матрицу , элементы которой .
3. Умножение матрицы , имеющей размер ,на матрицу , имеющую размер ,означает нахождение третьей матрицы размеров , причем элементы этой матрицы . Согласно определению данной операции, это правило действует, если число столбцов матрицы Аравно числу строк матрицы В.
Определителем квадратной матрицы порядка n называют число (в MATLAB – det(A))
,
где знак определяется числом (четным или нечетным) перестановок чисел . Способы вычисления определителей можно найти в соответствующей литературе. Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель (в противном случае матрица особенная, или вырожденная). Матрица называется обратной квадратной матрице А, если ; обратная матрица вычисляется довольно сложным образом:
,
где – алгебраические дополнения элементов матрицы.
Матрица называется транспонированной по отношению к матрице А, если в последней поменять местами столбцы и строки.
Транспонирование матрицы А:
» A=[1 2 3;4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
» B=A'
B =
1 4
2 5
3 6
» [atan(1)*4 sin(pi/2) exp(1)]'
ans =
3.1416
1.0000
2.7183
Последний прием удобен при создании векторов-столбцов.
Сложение и вычитание матриц:
» A=[3 4 2;2 5 5]; B=[0 3 1; 3 7 8]; C=A+B, D=A-B
C =
3 7 3
5 12 13
D =
3 1 1
-1 -2 -3
Умножение матриц:
» A=[1:3;4:6], B=[7:9;10:12]', C=A*B
A =
1 2 3
4 5 6
B =
7 10
8 11
9 12
C =
50 68
122 167
Следует отметить такую важную операцию, как ; при этом матрица А превращается в пустую (и освобождает память), но сохраняется как объект; в то же время clear('А') уничтожает матрицу А как переменную MATLAB.
Решение линейных уравнений
Пусть задана система из трех линейных уравнений
.
Введем матрицу, составленную из коэффициентов левых частей уравнений:
.
Если рассматривать x, y и z как элементы матрицы-столбца , т.е. , а правые части системы как матрицу-столбец , то можно записать матричное уравнение . Умножая обе части этого уравнения на обратную матрицу , получим . Это соотношение записано на основании того, что – единичная матрица (с единичными элементами на главной диагонали), а .