Биномиальное распределение

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, вероятность появления А в каждом опыте постоянна и равна р (схема Бернулли).

Зададим СВ - число появлений события А в n испытаниях.

Значения СВ могут быть – 0, 1. …, . Соответсвующие вероятности - Р(k)=Cn^kp^kq^n-k

хi			…		…
Pi	qn	npqn-1	…	Cnkpkqn-k	…	pn

Дискретная СВ имеет биномиальное распределение, если она принимает значения, равные числу появлений события А в независимых испытаниях и соответствующие вероятности, определенные формулой Бернулли.

Название –биномиальное: вероятность определяется как разложение в бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+…+bⁿ=

Проверим, ?

<

VМонета брошена 2 раза. Найти закон распределения и построить функцию распределения СВ –количества выпадений герба.

Ï , .

хi
Pi

N

Матожидание биномиального распределения.

Матожидание СВ , имеющей биномиальное распределение, равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М[ ]=nр.

Доказательство.

Рассмотрим одно испытание.

Вероятность

Рассмотрим СВ как сумму n независимых СВ , каждая из которых определяется появлением события А в одном испытании.

(все одинаковые) = <

V Вероятность попадания в цель р=0.8. Найти среднее число общего количества попаданий при 10 выстрелах.

Ï М[х]=nр=0.8*10=8 N

Дисперсия биномиального распределения.

Дисперсия СВ , имеющей биномиальное распределение, D[ ]=nрq.

Доказательство.

Аналогично нахождению матожидания получаем

Найдем . , .

Найдем

Вероятность

.

Тогда <

V Вероятность попадания в цель р=0.8. Найти дисперсию общего количества попаданий при 10 выстрелах.

Ï D[x]=npq=10·0.8·0.2=1.6 N

Распределение Пуассона

В схеме Бернулли, если n велико прибегают к формуле Пуассона. При этом делается важное допущение: n-велико, р-мало, а также мало ( )

Дискретная СВ имеет распределение Пуассона, если она принимает значения, равные числу появлений события А в серии независимых испытаний с вероятностями, определяемыми формулами

, .

хi				…		…
Pi	е-λ	λе-λ		…		…

Покажем, что .

Вспомнив, что ,

<

V В библиотеку завезли 5000 свежеотпечатанных учебников. Вероятность опечатки в ответах в каждом из них равна 0.0002. Найти вероятность того, что в библиотеке будет ровно 3 учебника с неправильными ответами.

Ï =5000·0.0002=1

≈0.06 N

Поиск по сайту: