Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, вероятность появления А в каждом опыте постоянна и равна р (схема Бернулли).
Зададим СВ - число появлений события А в n испытаниях.
Значения СВ могут быть – 0, 1. …, . Соответсвующие вероятности - Р(k)=Cnkpkqn-k
хi
…
…
Pi
qn
npqn-1
…
Cnkpkqn-k
…
pn
Дискретная СВ имеет биномиальное распределение, если она принимает значения, равные числу появлений события А в независимых испытаниях и соответствующие вероятности, определенные формулой Бернулли.
Название –биномиальное: вероятность определяется как разложение в бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+…+bn=
Проверим, ?
<
VМонета брошена 2 раза. Найти закон распределения и построить функцию распределения СВ –количества выпадений герба.
Ï , .
хi
Pi
N
Матожидание биномиального распределения.
Матожидание СВ , имеющей биномиальное распределение, равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М[ ]=nр.
Доказательство.
Рассмотрим одно испытание.
Вероятность
Рассмотрим СВ как сумму n независимых СВ , каждая из которых определяется появлением события А в одном испытании.
(все одинаковые) = <
V Вероятность попадания в цель р=0.8. Найти среднее число общего количества попаданий при 10 выстрелах.
V Вероятность попадания в цель р=0.8. Найти дисперсию общего количества попаданий при 10 выстрелах.
Ï D[x]=npq=10·0.8·0.2=1.6 N
Распределение Пуассона
В схеме Бернулли, если n велико прибегают к формуле Пуассона. При этом делается важное допущение: n-велико, р-мало, а также мало ( )
Дискретная СВ имеет распределение Пуассона, если она принимает значения, равные числу появлений события А в серии независимых испытаний с вероятностями, определяемыми формулами
, .
хi
…
…
Pi
е-λ
λе-λ
…
…
Покажем, что .
Вспомнив, что ,
<
V В библиотеку завезли 5000 свежеотпечатанных учебников. Вероятность опечатки в ответах в каждом из них равна 0.0002. Найти вероятность того, что в библиотеке будет ровно 3 учебника с неправильными ответами.