Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

I. Условные вероятности. Априорная и апостериорная вероятность



ЗАНЯТИЕ №2

 

Случайная величина задается тремя объектами: множеством элементарных событий, множеством событий и вероятностью событий.Те значения ,которые может принимать случайная величина, называются элементарными событиями.Наборы элементарных событий называются событиями. Для числовых и других не очень сложных случайных величин любой конкретно заданный набор элементарных событий есть событие.

Приведем пример: бросание игральной кости.

Всего имеется 6 элементарных событий: «очко», «2 очка», «3 очка»… «6 очков». Событие – любой набор элементарных событий, например «чет» -сумма элементарных событий «2 очка», «4 очка» и «6 очков».

Вероятность любого элементарного события P(A) равна 1/6:

вероятность события – количеству входящих в него элементарных событий, деленному на 6.

Достаточно часто в добавление к известной вероятности события имеется некоторая дополнительная информация, которая меняет эту вероятность. Например, летальность больных. поступивших в больницу с острой кровоточащей язвой желудка, составляет около 10%. Однако, если больному больше 80 лет, эта летальность составляет 30%.

Для описания таких ситуаций были введены так называемые условные вероятности. Они обозначаются, как P(A/B) и читаются «вероятность события А при условии события В». Для вычисления условной вероятности используется формула:

Вернемся к предыдущему примеру:

Пусть среди больных, поступивших в больницу с острой кровоточащей язвой желудка 20% - больные старше 80 лет. Причем, среди всех больных доля умерших больных старше 80 лет – 6%(напомним, что доля всех умерших составляет 10%). В этом случае

При определении условных вероятностей часто пользуются терминами априорной(буквально – до опыта) и апостериорной (буквально – после опыта) вероятности.

Пользуясь условными вероятностями, можно по одним вероятностям вычислить другие, например, менять местами событие и условие.

Рассмотрим эту технику на примере анализа связи риска заболевания ревматизма (ревматической лихорадкой) и одного из антигенов, являющихся для него фактором риска.

Частота заболевания ревматизмом – около 1%. Обозначим наличие ревматизма как R+ , тогда как P(R+)=0,01.

Наличие антигена будем обозначать, как А+. Его находят у 95% больных ревматизмом и у 6% лиц, ревматизмом не болеющих. В наших обозначениях это: условные вероятности Р(А+/R+)=0,95 и Р(А+/R-)=0,06.

На основании этих трех вероятностей будем последовательно определять другие вероятности.

Прежде всего, если заболеваемость ревматизмом P(R+)=0,01, то вероятность не заболеть P(R-)=1- P(R+)=0,99.

Из формулы для условной вероятности находим, что

Р(А+ и R+)= Р(А+/R+) * Р(R+) = 0,95*0,01 = 0,0095, или 0,95% популяции одновременно и болеют ревматизмом и имеют антиген.

Аналогично

Р(А+ и R-)= Р(А+/R-) * Р(R-) = 0,06*0,99 = 0,0594, или 5,94% популяции носят антиген, но ревматизмом не болеют.

Так как все имеющие антиген или болеют ревматизмом или и не болеют (но не одновременно и то и другое), то сумма двух последних вероятностей дает частоту носительства антигена в популяции в целом:

Р(А+)= Р(А+ и R+) + Р(А+ и R-) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Соответственно, доля людей, не имеющих антиген равна

Р(А-)=1- Р(А+) = 0,9311

Так как заболеваемость ревматизмом равна 1%, а доля лиц, имеющих антиген и болеющих ревматизмом, равна 0,95%, то доля лиц, болеющих ревматизмом и не имеющих антигена равна:

Р(А- и R+) = Р(R+) - Р(А+ и R+) = 0,01 – 0,0095 = 0,0005

Теперь будем двигаться в обратную сторону, переходя от вероятностей событий и их комбинаций к условным вероятностям. По исходной формуле условной вероятности Р(А+/R+)= Р(R+ и A+)/ Р(А+ ) = 0,0095/0,0689 » 0,1379 , или примерно 13,8% лиц, носящих антиген, заболеют ревматизмом. Так как заболеваемость популяции в целом лишь 1%, то факт выявления антигена повышает вероятность заболевания ревматизмом в 14 раз.

Аналогичным образом Р(R+-)=Р(R+ и A-)/ Р(А-) = 0,0005/0,9311 » 0,000054, то есть тот факт, что при проверке антигена не обнаружено, снижает вероятность заболевания ревматизмом в 19 раз.

Оформим эту задачу в электронной таблице Excel:

Наличие ревматизма R+ P(R+) 0,01
Наличие антигена у болеющих А+ Р(А+/R+) 0,95
Наличие антигена у неболеющих А+ Р(А+/R-) 0,06
Вероятность не заболеть P(R-)=1- P(R+) 0,99
Одновременно и болеют ревматизмом и имеют антиген Р(А+ и R+)= Р(А+/R+) * Р(R+) 0,0095
Носят антиген, но ревматизмом не болеют Р(А+ и R-)= Р(А+/R-) * Р(R-) 0,0594
Частота носительства антигена в популяции в целом Р(А+)= Р(А+ и R+) + Р(А+ и R-) 0,0689
Доля людей не имеющих антиген Р(А-)=1- Р(А+) 0,9311
Доля людей, болеющих ревматизмом и не имеющих антигена Р(А- и R+) = Р(R+) - Р(А+ и R+) 0,0005
Лица, носящие антиген, заболеют ревматизмом Р(А+/R+)= Р(R+ и A+)/ Р(А+ ) 0,137880987
Лица,не носящие антиген, не заболеют ревматизмом Р(R+-)=Р(R+ и A-)/ Р(А-) 0,000536999

Можно посмотреть процесс построения таблицы картинки2\p2-1.gif

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.