Похідна функції. Диференційованість

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ СТУДЕНТАМИ

ТЕМА 3 «Застосування похідної та інтеграла» (20год.)

Похідна функції. Диференційованість

1. Задачі, які приводять до поняття похідної

Відомо, що до поняття похідної привела необхідність розв’язати дві задачі: 1) задачу знаходження дотичної до довільної кривої; 2) задачу знаходження миттєвої швидкості в разі довільного закону руху.

Розглянемо першу задачу. Для її розв’язання треба з’ясувати, що ми будемо розуміти під дотичною до кривої. Не можна дотичну визначати як пряму, яка має з кривою лише одну спільну точку (див. рис. 1).

Дійсно, пряма (1) має з кривою (2) лише одну спільну точку, але вона не є дотичною до кривої. Разом з тим, пряма (3) має дві спільні точки з кривою (4), але очевидно є дотичною до неї в точці . Тому визначати дотичну до кривої потрібно інакше.

Нехай на площині задана неперервна крива . Знайдемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці (рис. 2).

Відомо, що рівняння прямої, яка проходить через т. з заданим кутовим коефіцієнтом має вигляд

. (1)

Невідомим тут залишається значення – кутового коефіцієнта дотичної, . Для його знаходження аргументу надамо приріст і перейдемо на кривій від точки до точки . Проведемо січну .

Під дотичною до графіка функції в точці будемо розуміти граничне положення січної за умови, що точка прямує вздовж графіка кривої до точки (тобто при ).

Із знаходимо .

Тоді за визначенням дотичної її кутовий коефіцієнт буде рівним

. (2)

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту незалежної змінної, коли останній прямує до нуля (якщо ця границя існує)

. (3)

Тепер дістаємо геометричний зміст похідної: похідна дорівнює кутовому коефіцієнту (тангенс кута нахилу) дотичної, проведеної до кривої в точці з абсцисою , тобто

. (4)

Тоді, враховуючи (1), рівняння дотичної до кривої в точці матиме вигляд

. (5)

Рівняння нормалі (перпендикуляра до дотичної), проведеної до кривої в точці , враховуючи залежність кутових коефіцієнтів взаємно перпендикулярних прямих , запишеться

. (6)

Розглянемо фізичну задачу, яка привела до поняття похідної.

Постанова задачі: знайти швидкість тіла, що рухається за законом в будь-який момент часу . Вважаємо, що відстань і час – фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від до тіло пройшло шлях . Тоді . Відомо, що середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається формулою

.

Щоб знайти миттєву швидкість цього тіла, потрібно перейти до границі відношення при умові , тобто

. (7)

Механічний зміст похідної: похідна від закону руху за часом , обчислена в момент , дорівнює швидкості тіла в момент , тобто

. (8)

Висновок. Обидві розв’язувані задачі привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального обчислення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією знайти іншу функцію , яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції щодо зміни аргументу.

Поиск по сайту: