Невизначений інтеграл та його обчислення
Основною задачею інтегрального обчислення є задача обернена до основної задачі диференціального обчислення: за заданою функцією знайти таку функцію , похідна від якої була б рівною функції , тобто . Таким чином операції диференціювання та інтегрування взаємно обернені.
Означення. Функція називається первісною для функції на деякому проміжку , якщо для кожного виконується рівність
(1)
Процес знаходження первісної функції для заданої функції називається інтегруванням функції. Будь-яка неперервна функція має первісну. Якщо первісна для функції на проміжку , то будь-яка інша первісна для на може бути представлена у вигляді , де - довільна постійна.
Означення. Якщо функція має первісну , то множина всіх первісних цієї функції , де - довільна постійна, називається невизначеним інтегралом від і позначається символом
, (2)
При цьому називають: - підінтегральна функція, - підінтегральний вираз, - змінна інтегрування.
Властивості невизначеного інтеграла:
1. ;
2. ;
3. ;
4. , ;
5.
.
Наслідок:
.
Таблиця основних інтегралів
Єдиного алгоритму для знаходження невизначених інтегралів у скінченному вигляді (через елементарні функції) не існує. Основні формули інтегрування, записані нижче, можна дістати шляхом обернення формул для похідних основних елементарних функцій. Подаємо основні табличні інтеграли, покладаючи, що - складна неперервна функція і .
1. ; ;
2. , ; ;
; ;
3. ;
4. ; ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. .
Майстерність інтегрування полягає в умінні так перетворити підінтегральний вираз, щоб останній став одним із табличних. Загальний алгоритм знаходження невизначених інтегралів:
1) перетворити підінтегральний вираз з вище указаною метою;
2) розкласти інтеграл від алгебраїчної суми функцій на алгебраїчну суму інтегралів від цих функцій;
3) винести постійний множник за знак інтеграла;
4) застосувати відповідні табличні інтеграли. (Коли немає необхідності в застосуванні якоїсь із перерахованих операцій, вона опускається).
Наведемо приклади табличного інтегрування.
Приклад 1
Обчислити інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) 8) ; 9) ; 10) .
Розв’язання
1) За властивістю 4 невизначеного інтеграла і табличним інтегралом (2) знаходимо
.
2) Аналогічно попередньому маємо
.
3) .
4) За властивістю 4 невизначеного інтеграла, табличним інтегралом (2) та враховуючи, що , дістаємо .
5) Аналогічно 4), враховуючи що , знаходимо
.
6) Аналогічно 4), враховуючи що , маємо
.
7) .
8) Аналогічно попередньому, зважаючи що , дістаємо
.
9)
.
10) .
Приклад 2
Обчислити інтеграли
1) ; 2) ; 3) ;
Розв’язання
1) Використовуємо наслідок 4-ї та 5-ї властивості невизначеного інтеграла та досвід розв’язування прикладу 1.
.
2) Аналогічно попередньому, враховуючи що , дістаємо
.
3) Розв’язуємо аналогічно пр.1, попередньо спростивши підінтегральний вираз, розкривши куб різниці за формулою
.
Приклад 3
Обчислити інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) .
Розв’язання
При обчисленні цих інтегралів будемо користуватися табличним інтегралом (2) . Перед обчисленням кожного інтеграла для себе треба з’ясувати наступне:
1) яку із функцій, котрі стоять під знаком інтеграла, треба прийняти за ;
2) чи стоїть за нею множник рівний , тобто чи стоїть під знаком інтеграла ;
3) коли це так, то, формулу (2) використовуємо зразу ж. Якщо ж підінтегральна функція не має вигляду , але відрізняється від неї лише на деякий постійний множник , то помноживши і розділивши підінтегральну функцію на множник та виносячи множник за знак інтеграла, дістанемо табличну підінтегральну функцію і можемо використовувати формулу (2).
1)
Будемо користуватися табличним інтегралом (2). Для цього покладемо , . Тоді підінтегральна функція має табличний вигляд і табличним інтегралом (2) можна зразу користуватися
.
2)
Покладемо .
Тоді, зважаючи що підінтегральна функція має табличний вигляд і табличним інтегралом (2) можна користуватися.
.
3)
Покладемо і . Щоб дістати табличну підінтегральну функцію множимо та ділимо підінтегральний вираз на 5 та виносимо за знак інтеграла.
.
4)
Виберемо
; .
Для того, щоб підінтегральна функція стала табличною множимо та ділимо підінтегральний вираз на 2 і виносимо множник за знак інтеграла.
.
5)
Перетворимо цей інтеграл до табличного (2):
.
Тоді
; .
Множимо та ділимо підінтегральний вираз на (-3) і виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (2).
.
6)
Покладемо і , . Підінтегральна функція зразу є табличною .
.
7)
Перетворимо цей підінтегральний вираз до табличного (2), зважаючи що .
Тоді ; . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на (-2) та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (2).
.
Приклад 4
Обчислити інтеграли, користуючись табличним інтегралом (3):
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Розв’язання
Відзначимо, що при використанні табличного інтеграла (3) підінтегральна функція повинна мати вигляд , інакше інтегралом (3) не можна користуватися. У тих випадках, коли підінтегральна функція обчислювального інтегралу відрізняється від лише на деякий постійний множник , то помноживши та розділивши підінтегральну функцію на і виносячи постійний множник за знак інтеграла, дістаємо табличний інтеграл (3).
1)
Покладемо . Очевидно підінтегральна функція має вигляд і табличним інтегралом (3) можна користуватися. Тому .
2)
Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 4, виносимо за знак інтеграла. Тепер табличним інтегралом (3) можна користуватися.
.
3)
Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-2) і виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).
.
4)
Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 20 та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).
.
5)
Покладемо .
Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-2) та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).
.
Приклад 5
Обчислити інтеграли від показникових функцій:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Розв’язання
Використовуємо табличний інтеграл (4)
, (4)
Звернемо увагу на те, що підінтегральні функції в обох інтегралах являють собою добутки та . Якщо множники в підінтегральних формулах відсутні, користуватись формулами (4) не можна. Якщо ж підінтегральні функції відрізняються від та лише постійним множником , то помноживши і розділивши їх на та винісши множник під знак інтеграла, дістаємо табличний підінтегральний вираз і тепер використовувати формули (4) можливо. У частинному випадку, якщо - аргумент та , формули (4) мають вигляд
, ( )
1) ;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Приклад 6
Користуючись табличними інтегралами (5-12), обчислити інтеграли від тригонометричних функцій:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Розв’язання
Слід звернути увагу на те, що кожна з підінтегральних функцій табличних інтегралів (5-12) має множник і в разі його відсутності користування формулами (5-12) неможливо. Якщо ж розглядувані підінтегральні функції відрізняються від табличних (5-12) лише на постійний множник , то помноживши і розділивши їх на та виносячи множник за знак інтеграла, дістанемо табличні підінтегральні вирази і право користуватися табличними формулами. У частинному випадку, коли формули (5-12) матимуть вигляд:
;
;
;
;
;
;
;
1)
Використаємо формулу (5) Підінтегральна функція повинна мати вигляд .Тому покладемо . Множимо і ділимо підінтегральні вирази на 3 та виносимо постійний множник за знак інтеграла.
= = .
2)
Використаємо формулу (6) підінтегральна функція повинна мати вигляд .
Тому покладемо . Виносимо множник 4 за знак інтеграла і дістаємо табличний інтеграл (6).
= .
3)
Використовуємо формулу (7). Підінтегральна функція повинна мати вигляд .
Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 6 та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (7).
= .
4)
Користуємось формулою (8). Підінтегральна функція повинна мати вигляд . Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 3 та виносимо за знак інтеграла.
.
5)
Вибираємо формулу (9).Підінтегральна функція повинна мати вигляд .Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 8, виносимо за знак інтеграла і отримаємо табличний інтеграл (9)
.
6)
Вибираємо формулу (10). Підінтегральна функція повинна мати вигляд .
Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на , виносимо за знак інтеграла і дістаємо табличний інтеграл (10).
.
7)
Будемо користуватися табличним інтегралом (12). Підінтегральна функція повинна мати вигляд ,тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 7 та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (12).
.
8) =
Використовуємо табличний інтеграл (11) в якому підінтегральна функція має вигляд .
Виходячи с цього, покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на , виносимо за знак інтеграла і отримуємо табличний інтеграл (11).
.
Приклад 7
Обчислити інтеграли користуючись формулами (13-16):
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Розв’язання
Формули (13-18) мають відповідно підінтегральні функції (13); (14); (15); (16). Якщо в конкретних інтегралах, зробивши тотожні перетворення, можна виділити такі підінтегральні функції, то відповідні інтеграли можна застосовувати для обчислень. У частинному випадку, коли , формули (13-16) приймають вигляд:
, ( )
, ( )
, ( )
. ( )
1)
Користуємось властивістю (4) невизначеного інтеграла та табличним інтегралом (13'). У цьому прикладі . Тому
.
2)
Використаємо табличний інтеграл (13). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 3, виносимо множник за знак інтеграла і дістаємо підінтегральну функцію інтеграла (13).
.
3)
Використаємо табличний інтеграл (13). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-1) та виносимо (-5) за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (13).
.
4)
Використаємо табличний інтеграл . Покладемо та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл .
.
5)
Використаємо табличний інтеграл (14), покладаючи ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (14).
.
6)
Використаємо табличний інтеграл (14). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 2 та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (14).
.
7)
Використаємо табличний інтеграл (16). Тут , маємо зразу табличний інтеграл .
.
8)
Використаємо табличний інтеграл (16), покладаючи ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 3, виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (16).
.
9)
Використаємо табличний інтеграл (15). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 5, виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (15).
.
10)
Використаємо табличний інтеграл (15). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на , виносимо множник за знак інтеграла, та дістаємо табличний інтеграл.
.
11)
Зведемо обчислення до табличних інтегралів (3) та (13), зважаючи на те, що та використовуючи властивості (5) та (4) невизначених інтегралів.
.
12)
Зведемо обчислення до табличних інтегралів (3) та (14), діючи аналогічно прикладу 11.
.
Завдання для самостійної роботи:
Обчислити інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) 14) ; 15) ; 16) ;
17) ; 18) ; 19) ; 20) ;
21) ; 22) ; 23) ; 24) ;
25) ; 26) ; 27) ; 28) ;
29) ; 30) ; 31) ; 32) ;
33) ; 34) ; 35) ; 36) ;
37) ; 38) ; 39) ; 40) ;
41) ; 42) ; 43) ; 44) ;
45) ; 46) ; 47) ; 48) ;
49) ; 50) ; 51) ; 52) .
Відповіді:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
Поиск по сайту:
|