Методи інтегрування: заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами

I. Розглянемо метод заміни змінної інтегрування, який дозволяє у багатьох випадках зводити інтеграли до табличних або таких, спосіб інтегрування яких уже відомий. Він базується на виконанні застосуванні наступної теореми:

Теорема. Нехай , і функція диференційовна на проміжку та відображає .

Тоді

(1)

При обчисленні конкретного інтеграла будемо користуватисяробочою формулою:

, (2)

тут - обернена функція до функції .

Успіх інтегрування методом заміни змінної значною мірою залежить від того, наскільки вдало виконано заміну змінних, яка спрощує даний інтеграл. Разом з тим, не можна дати одне загальне правило для вибору підстановки. Уміння підбирати функцію для заміни досягається достатньою кількістю зроблених самостійно вправ. Для певного класу інтегралів доцільні підстановки розроблені і будуть далі пропонуватися.

Зауваження. Інколи буває раціонально проводити заміну не змінної інтегрування , а деякої функції від неї . З цієї рівності знаходять і проводять підстановку

(3)

Якщо інтеграл простіший за попередній, то проведена підстановка досягла мети. Інтеграл обчислюють і після цього повертаються до старої змінної інтегрування , здійснюючи заміну .

II. Суть методу інтегрування частинами полягає у застосуванні формули

, (4)

яку називають формулою інтегрування частинами. Її застосування доцільне у тих випадках, коли другий інтеграл формули (4) буде простішим за перший або буде йому подібним.

Для використання формули інтегрування частинами до деякого інтеграла потрібно підінтегральний вираз записати у вигляді добутку двох множників та .Зробимо рекомендації по їх вибору.

1) Якщо підінтегральна функція має вигляд , , , , де - многочлен від , тоді поклавши , а все останнє разом з приймемо за , та використавши формулу (16.4) дістанемо другий інтеграл такого самого вигляду, як і розв’язуваний. Але степінь його многочлена буде на одиницю меншою і, таким чином, ми дістанемо більш простий інтеграл. Для його обчислення знову застосуємо формулу (4), одержаний многочлен знову беремо за і знову знижуємо степінь многочлена на одиницю і т.д.

2)Якщо підінтегральна функція містить, як множник, функції , , , , , , , то якщо за взяти ці функції, то другий інтеграл формули (4) буде простіший ніж початковий.

III. Класифікуючи елементарні функції, виділяють важливий клас раціональних функцій,які подаються у вигляді відношення многочленів . Виділимо з класу раціональних функцій (або раціональних дробів) основні найпростіші дроби. Вони бувають чотирьох типів:

I. ; III. , ;

II. ; IV. ;

Тут – дійсні числа, – ціле число. Розглянемо способи інтегрування основних дробів.

І. ; (5)

ІІ. ;

ІІІ.

,

тобто

(7)

Зауваження. За допомогою тієї ж заміни можна так само обчислювати інтеграли виду і у тих випадках, коли є повним квадратом або У цих випадках при обчисленні 2-го інтегралу замість табличного (13), як було вище зроблено, треба користуватися відповідно табличними інтегралами (2) та (14).

ІV.

(8)

Останній інтеграл обчислюється з використанням рекурентної формули

, (9)

при цьому

.

Формула (9) дозволяє обчислити , знаючи , потім обчислити , знаючи і т.д. Таким чином, обчисливши та підставивши його значення в (8), дістанемо результат інтегрування 4-го найпростішого раціонального дробу.

Приклад 1

Обчислити інтеграли, застосовуючи метод заміни змінної:

1) 2) ; 3) 4) ;

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10)

Розв’язання

1)

Такого інтеграла серед табличних немає. Спробуємо обчислити цей інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування . В якості виберемо степеневу функцію і підберемо таким, щоб добувались усі корені підінтегральної функції після підстановки туди . Таким очевидно є . Тоді заміна має вигляд Обернена заміна Усі ці допоміжні записи розміщують у фігурних дужках (дивись робочу формулу (16.2)) так, як це зроблено нижче:

Скористаємось 2-м табличним інтегралом, тому що підінтегральна функція має вигляд , дістанемо

повертаємось до старої змінної інтегрування , зважаючи що

2)

.

3)

Обчислюючи цей інтеграл, на відміну від попередніх, зробимо заміну не змінної інтегрування , а деякої функції від неї Щоб підінтегральна функція перетворилась в інтеграл від многочленна, зробимо заміну , (хоча кращою могла б бути заміна ).

.

4)

.

5)

.

6)

.

7)

.

8)

.

9)

.

10)

.

Приклад 2

Обчислити інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Розв'язання

Приклад 3

Обчислити інтеграли від найпростіших раціональних дробів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Розв’язання

1)

2)

3)

4)

5)

Приведемо цей інтеграл до табличних інтегралів (3) та (13) (або(14)), проводячи заміну (див. (7)). Тут - другий коефіцієнт квадратного тричлена знаменника , де , , тому зміна .

.

Інтеграл обчислений.

6)

.

Інтегрування завершено.

7)

.

8)

.

9)

.

10)

.

Приклад 4

Обчислити інтеграли:

1) ; 2) ; 3) .

1)Аналогічно попередньому прикладу робимо заміну , .

За рекурентною формулою (16.9), покладаючи , маємо:

Обчислюємо останній інтеграл за рекурентною формулою (9) при :

Робимо обернену заміну , дістаємо:

2)

Перший інтеграл – це 2-й табличний, а другий обчислюємо за рекурентною формулою (9) при , дістаємо:

Повертаємось до старої змінної, покладаючи , дістаємо

.

3)

Для обчислення інтегралів використовуємо 2-й табличний та формулу (9) при ,

Обчислюємо останній інтеграл за рекурентною формулою (9) при

Робимо обернену заміну , дістаємо:

Завдання для самостійної роботи:

Завдання 1.Обчислити інтеграли, застосовуючи метод заміни змінної.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ; 28) ;

29) ; 30) ; 31) ; 32) ;

33) ; 34) .

Відповіді:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) 15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ;

20) ; 21) ;

22) ; 23) ;

24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34) .

Завдання 2.Обчислити інтеграли, застосувавши метод інтегрування частинами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34) ;

35) ; 36) ;

37) .

Відповіді:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ; 25) ;

26) ;

27) ; 28) ;

29) ;

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) .

Поиск по сайту: