Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

І Об’єм тіла обертання



Для тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції (див. рис. 5), обмеженої лініями , , , маємо

. (5)

Аналогічно при обертанні відповідної трапеції , , , , навколо осі маємо

. (6)

Приклад 1

Обчислити площу фігури, що обмежена лініями:

1) , , ;

2) , ;

3) , , ;

Розв’язання

1) , , . Будуємо рисунок (див. рис. 6). Шукана площа обмежена параболою , прямою і віссю . Знаходимо точки перетину ліній, які обмежують шукану площу, розв’язуючи відповідні системи. Але за побудовою координати точок та очевидні , . Знаходимо координату т. :

 
 

 


, .

Розв’язуючи квадратне рівняння знаходимо , , але другий корінь є стороннім. Із рисунка очевидно, що шукана площа

(кв. од.).

2) , .

Будуємо рисунок (див. рис. 7).

       
 
   
 

 


Обчислювана площа обмежена параболою і прямою . Шукаємо межі інтегрування, розв’язуючи систему ,

, .

Використовуючи формулу (4), знаходимо площу фігури

(од2.).

3) , , . Будуємо рисунок (див. рис.8).

Шукана площа заштрихована, вона обмежена кубічною параболою та двома прямими і , які виходять з початку координат.

Вона складається з 2-х фігур рівних за площею одна з яких знаходиться вище вісі , а друга – нижче. Обчислимо площу фігури, яка лежить вище вісі . Вона складається з 2-х частин і . При цьому

.

Для знаходження знайдемо верхню межу інтегрування, розв’язуючи систему , , , , , . Тоді за формулою (4) .

Площа всієї фігури

(кв. од.).

Приклад 2

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями:

1) , , ;

2) Гіперболою , , ;

3) , ;

4) , ;

5) ,

.

 

Розв’язання

1) , , . Зробимо рисунок (див. рис. 9).

Застосовуємо формулу (5): , де .

(куб. од.).

2) Гіперболою , , . Зробимо рисунок гіперболи та тіла обертання (див. рис. 10). Воно складається із двох рівних за об’ємом частин. За формулою (5) при маємо

 
 

 

 


(куб. од.).

3) , . Обмежена даними лініями фігура (див. рис. 11) при обертанні навколо осі утворює тіло, об’єм якого можна знайти як різницю об’ємів тіл, утворених обертанням криволінійної трапеції та трикутника , тобто Границі інтегрування знаходимо, розв’язуючи рівняння

, , .

 

 

Тоді

(куб. од.).

4) , . Зробимо рисунок (див. рис. 12). Очевидно, що при обертанні верхньої частини кола , навколо осі дістанемо кулю радіуса . Із рівняння кола знаходимо , за формулою (5) маємо

(куб. од.).

Приклад 3

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями:

1) , , ; 2) ; .

Розв’язання

1) , , (див. рис. 13). Застосовуємо формулу (6)

.

Із рівняння лінії знаходимо і .

Із умови задачі та побудови рисунка слідує, що , .

Тоді

(куб. од.).

2) ; . Робимо рисунок (див. рис. 14) із якого слідує, що обмежена даними лініями фігура при обертанні навколо осі утворює тіло, об’єм якого можна знайти, як різницю об’ємів тіл, утворених обертанням навколо осі криволінійної трапеції і .

 

 

За формулою (6) маємо

(куб. од.).

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, утвореної обертання навколо осі дуги лінії:

1) , , (див. рис. до приклада 3, задачі 1));

2) , , (див. рис. до приклада 3, задачі 4));

3) Астроїди , (див. рис. до приклада 2, задачі 6);

4) Однієї арки циклоїди , , (див. рис. до приклада 1, задачі 5));

5) , ;

6) Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги лінії , (див. рис. до приклада 4, задачі 2)).

 

Розв’язання

 

1) , , (див. рис. 19.21). Площу поверхні обертання знаходимо за формулою (19.15)

.

Для розв’язуваної задачі , , тому

(кв. од.).

2) , , (див. рис. 19.24). Обчислимо площу сфери, застосовуючи формулу (19.15) в якій

, ,

.

(кв. од.).

3) Астроїди , (див. рис. 19.18). За формою (19.17) маємо (0 )

,

, .

(кв. од.).

4) Однієї арки циклоїди , , (див. рис. 19.13). Застосовуємо формулу (19.17) Попередньо обчислюємо

, ,

.

Тоді

(кв. од.).

5) , . Будуємо рисунок (див. рис. 19.28)

(кв. од.).

 

6) Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги лінії , (див. рис. 19.27). Очевидно, що поверхня утвореного тіла обертання складається із суми двох поверхонь; утворених обертанням трапеції та прямою . За формулою (19.16), вважаючи, що , маємо

(кв. од.).

 

Контрольні запитання:

 

1. Як знаходити площі плоских фігур, використовуючи визначений інтеграл?

2. Як обчислюється площа криволінійної трапеції у випадку параметричного задання кривої?

3. Як обчислюється площа сектора, обмеженого дугою кривої, заданої рівнянням у полярних координатах?

4. Як обчислити довжину ліній, використовуючи визначений інтеграл?

5. Як обчислюється довжина ліній, якщо крива задана у параметричній формі або у полярній системі координат?

6. Як обчислити об’єм тіла за відомою площею поперечного перерізу?

7. Як визначають об’єм тіла обертання навколо осі ( )?

8. Що називається поверхнею площі обертання? Як її обчислюють?

 

Завдання для самостійної роботи:

 

Завдання 1. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями:

1) Параболами , ;

2) , , ;

3) , ;

4) , , , ;

5) , , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) Параболою , прямою віссю Ох;

11) Напівкубічною параболою та прямими , ;

12) , ;

13) , , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , , , ;

18) , ;

19) , ;

20) , .

Відповіді:

1) (кв. од.); 2) (кв. од.);

3) 4,5 (кв. од.); 4) (кв. од.);

5) 1 (кв. од.); 6) 9 (кв. од.);

7) (кв. од.); 8) (кв. од.);

9) 9 (кв. од.); 10) (кв. од.);

11) 36 (кв. од.); 12) (кв. од.);

13) 2 (кв. од.); 14) (кв. од.);

15) 0,5 (кв. од.); 16) 4,5 (кв. од.);

17) 4 (кв. од.); 18) 9 (кв. од.);

19) 36 (кв. од.); 20) (кв. од.).

 

Завдання 2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури обмеженої лініями:

 

1) Параболою , , ;

2) еліпсом

3) Параболою та прямими , , ;

4) Гіперболою та прямими , , ;

5) Напівхвилею синусоїди , ;

6) Напівколом , ;

7) Прямою та осями координат;

8) , ;

9) , .

Відповіді:

1) 8 (куб. од.); 2) (куб. од.);

3) 3 (куб. од.); 4) 12 (куб. од.);

5) (куб. од.); 6) (куб. од.);

7) 21 (куб. од.); 8) (куб. од.);

9) 2 (куб. од.).

Завдання 3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями:

1) , ; 2) еліпсом

3) , , ; 4) , , ;

5) , , ; 6) , ;

7) , , ; 8) ,

Відповіді:

1) 8 (куб. од.); 2) (куб. од.);

3) 30 (куб. од.); 4) 19,2 (куб. од.);

5) (куб. од.); 6) (куб. од.);

7) (куб. од.); 8) (куб. од.).

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.