Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Застосування визначеного інтеграла



Поняття визначеного інтеграла, в силу абстрактності його побудови, широко використовується для знаходження різних економічних та фізичних величин. Приведемо приклади такого застосування.

1.Обсяг виробленої за проміжком часу продукції за відомою неперервною функцією продуктивності праці обчислюється за формулою

або , (8)

якщо продукція випускається на проміжку .

2.Відзначимо, що чисті інвестиції – це загальні інвестиції, які надходять в економіку за певний проміжок часу з відрахуванням інвестицій, які ідуть на відшкодування витраченого капіталу. Якщо позначимо - капітал, а чисті інвестиції , то приріст капіталу за період часу з моменту до має вигляд D . (9)

3.Розглянемо функцію , де - частка сукупного продукту, яку отримує частина населення. Наприклад, означає , що 90% населення одержують 60% сукупного прибутку. Очевидно, що , , . Покладемо, що немає населення з нульовим прибутком, тобто , і увесь прибуток розподіляється серед цієї сукупності населення, тобто . Таку функцію називають кривою Лоренца.

При рівномірному розподілі прибутків крива Лоренца вироджується у пряму – бісектрису ОА. Це ідеальний розподіл прибутків . Відхилення реального розподілу прибутків від рівномірного вимірюється відношенням площі фігури ОАВ між бісектрисою ОА і кривою Лоренца (заштрихованої фігури) до площі трикутника АОС і називається коефіцієнтом нерівномірності розподілу прибутків (коефіцієнтом Джині). Очевидно, що . Значення відповідає ідеальному розподілу.

 

(10)

4. Крива навчання. Часто буває необхідно оцінити, скільки часу необхідно для виробництва деякої додаткової кількості продукції. Для подібних розрахунків використовують так звану криву навчання.

Нехай - час, який вимірюється у людино-годинах, необхідний для виробництва перших одиниць продукції. Тоді покладають наближено дорівнює часу, необхідному для виробництва -ої одиниці продукції. Звичайно для цього використовують функції виду , де , .

Графік функції такого виду зображений на рисунку 3 і називається кривою навчання.

Функція - спадна, так як час, необхідний для використання деякої операції, зменшується при збільшенні числа повторів.

Час необхідний для виробництва одиниць продукції з номерами від до , визначається формулою (11)

5.Якщо , та відповідно загальні витрати, доход та прибуток, які змінюється з часом то .

Максимум загального прибутку буде тоді, коли . Тобто існує такий час , коли швидкості зміни доходу та витрат рівні. Загальний прибуток за час можна знайти за формулою

. (12)

Із рисунка 4 слідує, що максимум прибутку дорівнює площі між кривими та на проміжку .

6.Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістю , то шлях, пройдений тілом за відрізок часу , визначається за формулою (13)

7.Кількість електроенергії , яка пройшла через поперечний переріз провідника за відрізок часу , знаходиться за формулою (14), де - сила струму.

8. Робота А, яку виконує змінна сила направлена паралельно осі при переміщенні тіла по прямій з точки з абсцисою до точки з абсцисою , обчислюється так

(15)

9. Чисельне значення сили гідростатичного тиску рідини на занурену в неї вертикальну пластинку АВСD при умові, що рівень рідини співпадає з віссю , лінія ВС визначається рівнянням , - питома вага рідини, обчислюється за формулою (16)

10. Маса тонкого лінійного стержня густини , розміщеного на осі між точками і обчислюється так (17)

Тут лінійність стержня означає , що всіма іншими розмірами, крім довжини, можна знехтувати.

Приклад 1

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніця, обчислити:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Розв’язання

1) ;

2) ;

3) ;

4)

;

5) ;

6)

;

7) ;

8)

Приклад 2

Обчислити визначені інтеграли методом заміни змінної:

1) ; 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

 

Розв’язання

 

1)

;

2) ;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

 

Приклад 3

Обчислити визначені інтеграли, інтегруючи частинами.

1) 2) 3)

4) 5) 6) .

 

Розв’язання

 

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Таким чином, після застосування формули інтегрування частинами та зроблених перетворень, ми знову прийшли до того ж самого вихідного інтеграла . Таким чином, дістаємо рівняння , , .

Відповідь:

5)

.

Таким чином, після двократного інтегрування частинами, знову прийшли до того ж інтеграла тобто дістали рівняння , ,

Відповідь:

6)

Приклад 4

Розв’язати задачі на застосування поняття визначеного інтеграла.

Задача 1. Нехай - функція, яка характеризує зміну продуктивності праці на протязі семигодинного робочого дня, - час, що відлічується від початку роботи. Визначити об’єм продукції, що виробляється за 1 робочий день.

Розв’язання.Використовуємо формулу (8). Дістаємо

(ум. од.).

Задача 2. Визначити приріст капіталу за два роки за заданими чистими інвестиціями

Розв’язання.Застосувавши формулу (9), дістанемо

(ум. од.).

Задача 3. За даними досліджень у розподілу прибутків в одній із країн крива Лоренца може бути описана рівнянням , де - доля населення, - доля прибутків населення. Обчислити коефіцієнт Джині.

Розв’язання.Згідно формули (10) маємо

Дуже високе значення показує на істотно нерівномірний розподіл прибутків серед населення у даній країні.

Задача 4. Швидкості зміни витрат та доходу визначається формулами та , тут і вимірювались мільйонами гривень, а - роками. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.

Розв’язання.Знайдемо оптимальний час , коли , тобто швидкості зміни доходу та витрат рівні:

Таким чином, підприємство було прибутковим 9 років. Знайдемо прибуток, який було отримано за цей час. За формулою (12) маємо

(млн. грн.).

Задача 5. (стратегія розвитку). Компанія повинна обрати одну із 2-х можливих стратегій розвитку:

1) вкласти 20 млн. грн. у нове обладнання і одержувати 6 млн. грн. прибутку кожного року на протязі 10 років;

2) закупити на 30 млн. грн. більш досконале обладнання, яке дозволить одержувати 8 млн. грн. прибутку щорічно на протязі 7 років.

Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінальна облікова щорічна ставка 10%?

Розв’язання.Якщо - прибуток за час і є номінальна облікова щорічна ставка, то загальний прибуток за час обчислюється за формулою

При маємо . Тому за першої стратегії прибутку за 10 років

(млн. грн.).

Для другої стратегії: (млн. грн.).

З одержаних результатів слідує, що перша стратегія краща другої і тому її доцільно обирати для подальшого розвитку.

Задача 6. Після складання 50 автомобілів виявилось, що у подальшому час складання зменшується у відповідності з формулою . Знайти час, який необхідний для складання ще 20 автомобілів (з номерами 51, 52,…,70).

Розв’язання.Згідно формули (11) маємо

(од. часу).

Задача 7. Швидкість точки м/сек. Знайти шлях , який пройшла точка за проміжок часу сек. від початку руху.

Розв’язання.З формулою (13) маємо

м.

Задача 8. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 0,06 м, коли сила в 1 Н розтягує її на 0,01 м?

Розв’язання.Згідно закону Гука, сила , яка розтягує пружину на м дорівнює де - коефіцієнт пропорційності. Покладаючи та , дістанемо Значить Тоді, згідно формули (15) маємо

(Дж).

Задача 9. Гребля має форму половини еліпса, мала вісь якого 50 м лежить на поверхні води. Велика вісь еліпса – 100м. Обчислити числове значення тиску води на греблю.

Розв’язання.Коли розмістити осі еліпса так, як це зроблено на рисунку, то він визначається рівнянням Звідси маємо

Тоді згідно формули (18.15) для правої частини греблі числове значення тиску буде рівним

а повний тиск на всю греблю дорівнює

.

Підставляючи , м, м і (од. тиску).

Якщо напівосі виразити у дециметрах, то числове значення тиску одержимо у кілограмах.

Задача 10. Сила струму задана функцією Визначити кількість електроенергії, яка пройшла через поперечний переріз провідника за 8 секунд, починаючи від початку досліду.

Розв’язання.За формулою (18.14) маємо

(од. ел.).

Задача 11. Маємо тонкий лінійний стержень довжиною 5 см. Знайти масу цього стержня, якщо його густина г/cм3.

Розв’язання.Застосовуючи формулу (17) дістаємо

г.

Завдання для самостійної роботи:

 

Завдання 1.Обчислити визначені інтеграли, безпосередньо використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ; 20) .

Відповіді:

1) ; 2) 12; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) 2;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0; 14) 0;

15) ; 16) ; 17) ; 18) 2; 19) ; 20) .

Завдання 2.Обчислити визначені інтеграли, користуючись методом заміни змінної.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) .

Відповіді:

1) ; 2) 1,5; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) 3; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ; 20) .

Завдання 3.Обчислити визначені інтеграли, користуючись інтегруванням частинами.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Відповіді:

1) ; 2) 1; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Завдання 4. Розв’язати наступні задачі:

1) Швидкість тіла задається формулою м/сек. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 10 сек. після початку руху.

2) Пластинка у формі трикутника занурена вертикально у воду так, що її основа лежить на поверхні води. Основа пластинки , висота .

а) Підрахувати силу тиску води на кожну із сторін пластинки;

б) У скільки разів збільшиться тиск, коли перевернути пластинку так, що на поверхні виявиться вершина, а основа буде паралельною поверхні води?

3) Маємо неоднорідний тонкий стержень довжиною 10. Визначити масу цього стержня, знаючи, що у кожній його точці густина .

4) Ракета підіймається вертикально вгору. Вважаючи, що при постійній силі тяги прискорення ракети за рахунок зменшення її ваги зростає за законом , знайти швидкість у будь-який момент часу , якщо початкова швидкість дорівнювала нулю . Знайти також висоту, на яку піднялась ракета в момент часу .

5) Вертикальна гребля має форму трапеції. Обчислити силу тиску води на греблю, коли відомо, що верхня основа греблі м, а нижня основа м, а висота м.

6) Визначити приріст капіталу за три роки за даними чистими інвестиціями .

7) За даними чистими інвестиціями , знайти, за скільки років приріст капіталу становитиме 150000.

8) Нехай - навантаження на електростанцію; – години, що відлічуються від початку доби. Обчислити середні витрати електроенергії за одну добу.

9) Після складання 100 годинників виявилось, що у подальшому час складання зменшується у відповідності до формули . Знайти час, який потрібний для складання ще 20 годинників (тобто з номерами 101, … , 120).

 

Відповіді:

1) м. 2) а) ; б) у 2 рази. 3) .

4) , .

5) . 6) . 7) .

8) . 9) .

 

Геометричні застосування визначеного інтеграла.

І. Обчислення площ плоских фігур

1) Якщо функція і неперервна на , то за геометричним змістом визначеного інтеграла площа під кривою (див. рис. 1) чисельно дорівнює визначеному інтегралу

, . (1)

2) Якщо функція і неперервна на , то відображаючи її графік відносно осі абсцис (див. рис. 2), дістаємо криву, яка має рівняння . Остання функція уже невід’ємна на , а площа під цією кривою на , із умови симетрії графіків, дорівнює шуканій площі під кривою на . Тоді маємо

, . (2)

3) Якщо функція на відрізку неперервна і приймає як додатні так і від’ємні значення, наприклад, (див. рис. 3) на і , а на , то зважаючи, на розглянуті випадки 1) і 2), маємо

 

 

. (3)

4) Якщо на відрізку задані дві неперервні функції i такі, що , тоді площа фігури, обмеженої цими кривими на відрізку , обчислюється за формулою

. (4)

Можливі декілька випадків розміщення кривих на відрізку (див. рис. 4). Для всіх зображених випадків розміщення кривих і має місце формула (4).

 
 

 


 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.