Похідна функції може бути знайдена за таким алгоритмом:
. Надамо аргументу приріст і знайдемо нарощене значення функції
.
. Знаходимо приріст функції
.
. Складаємо відношення .
. Знаходимо границю цього відношення, якщо , тобто
.
Приклад 1
За означенням похідної знайти похідні функцій:
1) ; 2) ; 3) , ;
4) ; 5) .
Розв’язання
1)
Користуємось алгоритмом обчислення похідної.
. ;
.
;
. ;
.
.
Тоді
. (9)
Аналітично можна дістати
. (10)
2)
. ;
. ;
. ;
.
.
Тоді
. (11)
3) ,
. ;
. ;
. ;
. .
Тоді
, . (12)
4)
. ;
.
;
. ;
. , тобто .
Можна довести, ми це зробимо пізніше, що для степеневої функції , похідна обчислюється за формулою
. (13)
5) – показникова функція
. ;
. ;
. ;
. .
Тут використали еквівалентні нескінченно малі (8.10):
, якщо .
Тоді
(14)
6)
. ;
. ;
. ;
. .
Тоді
. (15)
Диференційованість функції
Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді
, (16)
де , , – нескінченно мала функція при .
Теорема 1.Для того, щоб функція була диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.
Зауваження. Із цієї теореми слідує, що поняття диференційованості функції в точці та існування в точці скінченної похідної – тотожні. Тому операцію обчислення похідної називають диференціюванням функції. Множину всіх функцій, диференційованих на , позначають через .
Теорема 2.Якщо функція є диференційованою в точці , то вона неперервна в цій точці.
Обернене твердження невірне! Існують неперервні функції, але не диференційовні в деяких точках неперервності. Наприклад, функція (рис. 10.3). Вона неперервна на всій дійсній прямій, але не диференційовна в т. , похідна цієї функції в точці не існує.
Дійсно
Розглянемо похідну зліва та справа в точці . За означенням
;
(16*)
.
Функція буде диференційованою в точці , якщо обидві похідні зліва та справа в точці існують і дорівнюють одна одній. Геометрично умова означає, що графік функції в точці має дотичну. Якщо , то в точці існують дві різні дотичні. У нашому випадку
; ,
і тому функція не диференційована в точці , хоча ця точка є точкою неперервності.
Правила диференціювання
1. Якщо та – диференційовані функції від , то їх сума також є диференційованою функцією і
(17)
Наслідок. Похідна від суми будь-якого скінченного числа диференційованих функцій дорівнює сумі похідних цих функцій
. (18)
2. Добуток двох диференційованих функцій та є диференційованою функцією і
(19)
Наслідок.
а) Похідна добутку диференційованих функцій
. (20)
б) Якщо , – диференційована функція, то
, (21)
3. Якщо , то відношення двох диференційованих функцій є функція диференційована і
. (22)
Ці твердження легко доводяться за означенням похідної (10.3). Скористаємось алгоритмом обчислення похідної.
1. Доведемо (17).
Нехай і , .
. ;
. ;
. ;
. .
2. Доведемо (19), .
. ;
.
;
. ;
.
,
тому що .
3. Доведемо (21), .
. ;
. ;
. ;
.
, тому що .
Приклад 2
Знайти похідні наступних функцій:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
Розв’язання
1)
,
тому що ;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
(23)
7)
;
(24)
8)
;
(25)
9) ;
(26)
10)
;
(27)
11)
;
12)
.
5. Похідна від оберненої функції
Теорема.Якщо функція монотонна і має в точці відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної має вигляд і її похідна обчислюється за формулою
. (28)
Це тому, що
.
Приклад 3
Обчислити похідні функцій:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Розв’язання
1) , , .
Оберненою функцією до заданої є функція . За теоремою про похідну від оберненої функції маємо
;
; (29)
2) , , .
Оберненою функцією до заданої є . За теоремою про похідну від оберненої функції
;
; (30)
3) , , .
Оберненою функцією до цієї є . Аналогічно прикладам 1) і 2) маємо