Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного предела.
Первый замечательный предел.
Следствия из первого замечательного предела
Первый замечательный предел имеет вид
(1)
и он позволяет раскрывать неопределенность , причем в пределе присутствуют тригонометрические функции.
Наряду с формулой (1) можно также непосредственно доказать следующие формулы (следствия из первого замечательного предела)
. (2)
На практике же при решении примеров применяются не формула (1) и ее следствия (2), а следующие формулы
, , , (3)
или цепочка эквивалентностей
при . (4)
Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):
1) ; 2) ; 3) .
Решение.
1) Для решения предела воспользуемся цепочкой эквивалентности:
, так как при ,
, так как при .
В результате получим .
2) В пределе , чтобы воспользоваться цепочкой эквивалентности
, так как при ,
(воспользовались формулой разности косинусов
).
В результате получим .
3) Упростим числитель и знаменатель (выделим синусы), чтобы привести к цепочке эквивалентностей:
,
.
Тогда применяя цепочку эквивалентностей, получим
.
Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):
1) ; 2) ; 3) .
Решение.
1) Для решения воспользуемся преобразованиями
Чтобы применить первый замечательный предел, сделаем линейную замену переменной: , при этом . Если , то . Тогда получим
.
2) Сделаем замену переменной . При этом и если , то . Тогда
.
3) Учитываем, что . Сделав линейную замену переменной ( и при ), получим
(использовали цепочку эквивалентностей , ).
Второй замечательный предел. Следствия из второго
Замечательного предела.
В более подробном курсе математического анализа доказывается, что функция при имеет пределом число , то есть
. (1)
На практике при решении примеров используется следующая формула
. (2)
Формула (2) применяется для вычисления пределов вида (их называют “пределами типа ”), причем , (то есть раскрытие степенно-показательной неопределенности ). Покажем на примерах применение формулы (2).
Пример 1. Вычислить пределы: 1) ; 2) .
Решение
1) Первоначально оцениваем предел и получаем неопределенность . Для решения “пределов типа ” с использованием формулы (2) сначала необходимо выделить функцию ( ) и затем “подогнать” предел под формулу (2). В нашем примере приравняем дробь к выражению : . Тогда отсюда , причем . Применяя формулу (2), получим
.
После выделения числа по формуле (2) в последнем пределе необходимо вернуться к переменной , учитывая, что :
.
2) Имеем
.
Пример 2. Вычислить предел .
Решение. В пределе примем , . Последовательно подгоняя предел под формулу (8.2), получаем
Вычисляем отдельно предел
.
Докажем далее следующие вспомогательные пределы ( , )
, , (3)
, . (4)
Для доказательства формулы (3) достаточно подогнать предел под формулу (2) (используя свойство логарифма , , ):
.
Для доказательства формулы (4) сначала сделаем замену переменной . При этом , , причем при имеем . Теперь подгоняем под формулу (2)
На практике при решении примеров удобнее пользоваться следующими эквивалентностями (следствиями из формул (3), (4))
при , (5)
при , (6)
при , (7)
при . (8)
На основании формул (2), (4) докажем формулы ( )
, (9)
при . (10)
Выделим в числителе число (формула (2)):
а затем применим формулу (4)
.
Пример 3. Вычислить предел .
Решение. В пределе сделаем замену , при этом , при . Используя эквивалентности (6), (8), получим
Пример 4. Вычислить предел .
Решение. Вынесем в числителе за скобки ( ), а в знаменателе воспользуемся формулой разности синусов. Тогда получим
.
Используя далее цепочки эквивалентностей ,
, при (формула (7)), получим
.
Пример 5. Вычислить предел .
Решение. В пределе делаем замену переменной ( , ) и используем цепочку эквивалентности (5):
.
Для вычисления последнего предела воспользуемся методом сопряженных выражений: