Односторонние пределы функции одной переменной

Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

Односторонние пределы функции одной переменной

Пусть дана функция , заданная на области определения .

Определение 1. Точка называется правосторонней предельной точкой (левосторонней предельной точкой) для области определения функции , если функция определена на некотором достаточно малом интервале (соответственно ) (где ).

– левосторонняя предельная

Рис.1.1.а.

Рис.1.1.б.

Если точка является одновременно и правосторонней и левосторонней предельными точками, то она является предельной точкой для , так как функция будет определена на достаточно малом интервале .

Введем важные для дальнейшего изучения математического анализа понятия – односторонние пределы.

Если – правосторонняя предельная точка для функции , то символом обозначаем стремление переменной к справа ( ). Если при этом соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют правосторонним пределом функции в точке (рис.9.1.а), и обозначают

или .

Если – левосторонняя предельная точка для функции , то символ означает стремление переменной к слева ( ). Если при этом соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют левосторонним пределом функции в точке (рис.9.1.б), и обозначают

или .

Если функция определена на интервале (на интервале ), то имеет смысл говорить о пределе функции при

(соответственно при ) .

Отметим следующий факт. Если функция в точке имеет конечные правосторонний и левосторонний пределы, равные между собой ( ), то функция в точке будет иметь предел .

На практике нахождение односторонних пределов основано на тех же приемах, что и вычисление обычных пределов.

Пример. Для функции вычислить односторонние пределы в точках , , а также при , . По полученным данным построить схематично график.

Решение. По виду функции замечаем, что функция не определена в точках , , однако эти точки – предельные точки для области определения . При вычислении односторонних пределов первоначально необходимо подставить предельную точку и учитывать знак:

,

.

По полученным пределам можно схематически построить график функции (см. рис. 2), дополнительно находим точки , .

Рис. 2.

Поиск по сайту: