Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основные характеристики Ф1П



ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

 

Рязань 2012

Тема 2. Функция одной переменной.

Предел и непрерывность функции одной переменной

 

Лекция 1

Понятие функции одной переменной (Ф1П), ее способы задания. Область определения и область значений Ф1П.

Основные характеристики Ф1П.

Понятие функции одной переменной (Ф1П), ее способы задания.

Область определения и область значений Ф1П.

Прежде чем ввести понятие “функция”, введем понятие “множество”. Множество – совокупность (набор) объектов одной природы, обладающих некоторым общим свойством. Объекты, объединенные этим общим свойством, называются элементами множества и обозначают малыми буквами латинского алфавита: Множества обозначают заглавными буквами: Символом обозначаем принадлежность элемента множеству .

Далее будем рассматривать числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Приведем примеры наиболее часто встречающихся числовых множеств.

Множество называют множеством натуральных чисел. Множество называют множеством целых чисел. Множество называют множеством рациональных чисел. Каждое рациональное число есть отношение двух целых чисел ( , ).

Рассмотрим множество множество действительных чисел. Оно отождествляется с множеством всех точек числовой прямой. Числовой прямой называется прямая линия, на которой выбрано начало отсчета длин (точка , или число 0), масштаб (единица измерения) и направление отсчета.

В результате каждое действительное число отождествляется с точкой на числовой прямой.

Важнейшим свойством множества является его упорядоченность. Оно позволяет определить следующие множества на числовой прямой (таблица 1.1) при помощи соответствующих неравенств.


Таблица 1.1.

название множества символьное обозначение Графическое обозначение
интервал
сегмент (отрезок, закрытый интервал)
правый полуинтервал
левый полуинтервал

Теперь введем понятие “функция” – фундаментального понятия математического анализа. Пусть даны два множества , . Элементы этих множеств будем называть переменными.

Определение 1.1. Функцией из множества в множество называется закон (правило) , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .

Это записывают следующим образом или более кратко . При этом множество называют областью определения функции (обозначаем ), множество областью значений функции ( ). Переменная считается независимой переменной (аргументом функции), а переменная – зависимой переменной (зависит от ).

Рассмотрим основные способы задания функции.

1) Аналитический способ. При таком способе задания функция задается аналитической формулой , то есть переменная задается через переменную посредством арифметических операций и элементарных функций. При этом под областью определения понимается такое множество значений , при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл. Это означает, что в результате применения формулы мы получим для каждого значения единственное действительное значение .

Например, . Вычисляя значение функции в точке , получим .

2) Графический способ. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (первая координата называется абсциссой, вторая координата – ордината (см. рисунок 1.1).

При этом на графике функции нельзя найти такие две точки , , у которых ординаты различные ( ), а абсциссы равные ( ). Приведем следующий классический пример.
Рис.1.1.  

 

Известно, что окружность с центром в начале координат и радиуса 1 имеет уравнение (см. рис.1.2). Разрешая это уравнение относительно переменной , получим или . Таким образом, окружность задается графиками двух функций (верхняя часть окружности), (нижняя часть окружности).
Рис.1.2.  

Пример 1.1. Для функции найти: 1) , 2) , 3) , 4) (в последнем случае ).

Решение. 1) Для определения имеем систему неравенств: Решаем ее метод интервалов:

+ – +

+ – +

Решением системы неравенств (a), (b), (c) является отрезок = .

2) Имеем .

3) Найдем . Для этого в формулу, определяющую функцию, подставляем вместо переменной “новую” переменную :

.

4) Имеем

 

Основные характеристики Ф1П

Постепенно по мере расширения средств исследования, мы будем давать все более полное описание функции. Пока же введем основные и простейшие характеристики (особенности) функций.

Определение 1.2. Функция называется четной(нечетной), если ее область определения симметрична относительно начала координат (точки ) и при всех выполняется

. (1.1)

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см. рисунок 1.3.а), график нечетной функции симметричен относительно начала координат точки – (см. рисунок 1.3.б).

Четная функция

Рис.1.3.а. Рис.1.3.б.

Примерами четных функций являются функции , , . Нечетными функциями являются, например, функции , , . Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Они называются функциями общего вида.

Пример 1.2. Показать, что функция является четной, а

функция – нечетной (принять , последнее означает, что область определения состоит из всех действительных чисел, кроме чисел –1, 1).

Решение.

1) Область определения симметрична относительно точки и при всех :

(используем свойство модуля ).

2) Область определения симметрична относительно точки и при всех :

(использовали свойство логарифма ( )). ■

Определение 1.3. Функция называется периодической, если существует положительное число (называемой периодом функции) такое, что при всех выполняются:

1) ;

2) . (1.2)

Если функция имеет период , то выполняются равенства

,

то есть число также период функции .

Наименьший период называется основным периодом функции .

Для построения -периодической функции достаточно построить график этой функции на каком-то отрезке ( ), а затем продолжить его по периодичности на всю область определения (см. рисунок 1.4).

Рис. 1.5. Определение 1.4. Функция в точке имеет нуль, если . Графически это означает, что в точке график функции пересекает ось (см. рисунок 1.5). Для функции нулями являются точки , , .

Определение 1.5. Интервал называется интервалом знакопостоянства функции , если на этом интервале функция сохраняет свой знак, то есть при всех : или .

В интервале положительного (отрицательного) знака график функции расположен выше (соответственно ниже) оси . Так, на рисунке 1.5 интервалами положительного знака являются интервалы , ; интервалами отрицательного знака – интервалы , .

Определение 1.6. Функция называется строго возрастающей(строго убывающей) на интервале , если при всех таких, что выполняется (соответственно ).

Другими словами, функция является строго возрастающей на (обозначаем символом ), если большему значению независимой переменной (аргументу) соответствует большее значение функции (см. рисунок 1.6.а). Функция является строго убывающей на (обозначаем ), если большему значению аргументу соответствует меньшее значение функции (см. рисунок 1.6.б).

Рис. 1.6.а. Рис. 1.6.б.

О возрастании и убывании можно оговорить и в более широком смысле слова. Так, функция называется неубывающей(невозрастающей) на интервале , если при всех таких, что выполняется нестрогое неравенство (соответственно ).

Определение 1.7. Функция называется постояннойна интервале , если при всех выполняется ( – некоторое число, знак означает тождественное равенство).

Если функция является на интервале неубывающей, то его можно разбить на такие интервалы, на каждом из которых функция будет являться или строго возрастающей, или постоянной. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном строго возрастающие или строго убывающие функции. Такие функции назовем монотонными функциями, а соответственные интервалы – интервалами монотонности (возрастания или убывания).

Определение 1.8. Функция называется ограниченнойна множестве , если существуют числа ( ) такие, что при всех выполняется двойное неравенство .

Графически ограниченность функции на множестве означает, что график функции ограничен снизу прямой , а сверху прямой . Например, графики функций (синусоида), (косинусоида) ограничены прямыми , ( , ).

Введем важное понятие математического анализа – сложная функция.

Определение 1.9. Пусть даны функции ( , ), ( , ). Функция вида

(1.3)

называется сложной функцией (композицией) функции на функцию .

Согласно форме записи (1.3), чтобы найти значение сложной функции , сначала необходимо по независимой переменной вычислить значение , а затем по найденному значению найти значение . При этом функцию будем называть внутренней функцией композиции, а функцию внешней функцией композиции.

Пример 1.3. Записать функцию , где , как функцию: 1) аргумента , полагая ; 2) аргумента , полагая .

Решение.

1) Полагая (здесь считаем аргументом, то есть независимой переменной), функция будет иметь вид . Тогда

.

Эта функция вычисляется по следующей схеме

.

2) Полагая (здесь считаем зависимой от переменной ), функция будет иметь вид . Тогда

.

Эта функция вычисляется по следующей схеме

. ■


Лекция 2

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.