Понятие бесконечно-малой функции, бесконечно-большой функции, их свойства. Основные теоремы о пределах Ф1П, свойства пределов

Считаем, что – предельная точка для области определения функции. При этом , или , или .

Определение 1. Функция называется бесконечно-малой функцией в точке , если предел функции в равен нулю: .

Поясним данное понятие. Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Приведем конкретные примеры бесконечно-малых функций.

Пример 1. 1) Функция является бесконечно-малой функцией в точке , так как . Аналогично – бесконечно-малая в точке .

	2) Функция является бесконечно-малой в точке , о чем свидетельствует ее график. При неограниченном уменьшении переменной график функции приближается к оси абсцисс ( – горизонтальная асимптота). Можно убедиться, что функция является бесконечно-малой при .
	3) Функция вида ( ) является бесконечно-малой функцией при и , о чем свидетельствует график (при , ). При неограниченном уменьшении переменной график функции приближается к оси абсцисс (аналогичная ситуация при ).

Отметим свойства бесконечно-малых функций. Пусть функции , – бесконечно-малые в точке ( ). Тогда:

1) функция – бесконечно-малая функция в точке ,

2) функция – бесконечно-малая функция в точке ,

3) если – ограниченная функция, то – бесконечно-малая функция в точке ,

4) функция – бесконечно-малая функция в точке ( ).

Теорема 1 (О существовании конечного предела функции). Число является пределом функции в точке ( ) тогда и только тогда, когда существует некоторая функция – бесконечно-малая в точке ( ) такая, что .

Определение 2. Число называется пределом функции в точке , если разность между функцией и числом есть некоторая функция , являющаяся бесконечно-малой в точке .

Наряду с бесконечно-малыми функциями, выделяют также бесконечно-большие функции.

Определение 3. Функция называется бесконечно-большой в точке , если предел функции в равен бесконечности: .

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех

выполняется (соответственно ).

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется (соответственно ).

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется (соответственно ).

Приведем примеры бесконечно-больших функций.

Пример 2.

	1) Функция является бесконечно-большой в точке (см. график). При неограниченном увеличении переменной график функции неограниченно возрастает. Можно непосредственно убедиться, что функция является бесконечно-большой при .
	2) Функция вида ( ) является бесконечно-большой при , о чем свидетельствует график. При стремлении переменной к нулю график функции приближается к оси ординат.

Связь бесконечно-малой функции с бесконечно-большой функцией состоит в следующих утверждениях. Если функция – бесконечно-малая в т. , то функция – бесконечно-большая в т. . И наоборот, если функция – бесконечно-малая в т. , то функция – бесконечно-малая в т. . На основании этих утверждений введем следующие обозначения:

, .

Теорема 2 (Правила вычисления пределов функции). Пусть , ( ). Тогда:

1) , ,

2) ,

3) ( ).

Лекция 4

7. Раскрытие неопределенности .

8. Раскрытие неопределенности .

7. Раскрытие неопределенности

Рассмотрим предел от дробно-рациональной функции, где – многочлены степеней n, m соответственно. В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо вынести за скобки в числителе и знаменателе дроби множитель , где – наибольшее из степеней . После вынесения сократить функцию на общий множитель и произвести оценку предела, учитывая, что ( , ).

Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) 2) ; 3) .

Решение

1) В пределе имеем неопределенность , многочлены , . Выносим за скобки в числителе и знаменателе функции (дроби) множитель ( ). Тогда получаем

.

2) Имеем предел , где ,

. Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби

множитель ( ). Тогда получаем

.

3) Вычисляем

.

Можно непосредственно доказать (сделайте самостоятельно), что

где , .

Рассмотрим далее , где – бесконечно-большие функции при , содержащие в общем случае корни различных степеней. В этом случае для раскрытия неопределенности применяется тот же прием, что и выше. За скобки в числителе и знаменателе дроби необходимо вынести множитель , где – наибольшая степень из всех возможных степеней переменной с учетом корней. Заметим, что целесообразно число выбирать натуральным. Поясним на примерах этот прием.

Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) .

Решение

1) Для предела имеем ,

, , . Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель , так как степень 1 наибольшая из всех степеней переменной с учетом корней , :

.

2) В пределе имеем , , , . Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель , так как степень 2 наибольшая из всех степеней переменной с учетом корней , :

.

Раскрытие неопределенности

Рассмотрим предел ( ), причем многочлены таковы, что . Для раскрытия неопределенности , возникающей в пределе, необходимо выделить в многочленах линейный множитель (он и дает неопределенность). После сокращения числителя и знаменателя на множитель , необходимо снова оценить предел и при возникновении неопределенности заново применить этот способ. Теоретически предлагаемая схема выглядит так:

,

где – некоторые многочлены степеней соответственно. При выделении общего линейного множителя руководствуются тем фактом, что так как при многочлены обращаются в нуль, то они без остатка делятся на (например, столбиком или при помощи схемы Безу), откуда и получаются многочлены .

Пример 1. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение

1) В пределе имеем , , , . Разложив многочлены на множители (по формулам сокращенного умножения), выделим общий множитель и после сокращения снимем неопределенность:

.

2) Оценивая предел , имеем неопределенность

.

Значит, числитель и знаменатель делятся на линейный множитель . Проводя деление столбиком, получим (знаменатель раскладываем по разности кубов):

3). Выделяем в числителе и знаменателе дроби множитель (то есть делим многочлены на ):

.

В полученном пределе имеем снова неопределенность . Выделяя множитель , получим

Рассмотрим далее предел ( ), в котором алгебраические функции обращаются в нуль в точке : . Данный предел отличается от рассмотренного выше предела тем, что функции не являются многочленами от переменной и в общем случае содержат корни различных степеней. Для раскрытия неопределенности , как и выше, необходимо выделить в числителе и знаменателе линейный множитель , дающий неопределенность.

На практике выделение множителя можно проводить различными методами: сопряженных выражений, замены переменной или разложением на множители. Рассмотрим на практике эти методы.

Пример 2. Вычислить пределы: 1) ; 2) .

Решение

1) Для предела имеем неопределенность , так как , , , . Применим здесь метод сопряженных выражений. Умножим и разделим числитель, знаменатель функции на – выражение, сопряженное к (вообще, выражения , называют сопряженными, их произведение ). Получаем

.

Из решения примера наглядно видно, что применив метод сопряженных выражений, мы избавились сначала от корня в числителе:

,

выделив множитель , и сократив на него, избавились от неопределенности.

2) Имеем предел . Воспользуемся методом сопряженных выражений для выделения множителя . Имеем

.

Видно, что умножение числителя и знаменателя на выражение привело к выделению множителя только в числителе. Поэтому применим метод сопряженных выражений к знаменателю (умножим и разделим на выражение – сопряженное к знаменателю):

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В пределе появляется неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности сначала приводим дроби к общему знаменателю, в результате чего получаем неопределенность :

.

Разложив на множители , получим

.

Лекция 5

Поиск по сайту: