4. Построение графиков функций: , , , , , по заданному графику функции .
Основные элементарные функции, их графики
Определение 2.1.Основными элементарными функциями называются следующие функции (классы функций):
1) Степенные функции вида ( );
2) Показательные функции вида ( );
3) Логарифмические функции вида ( );
4) Тригонометрические функции: , , , ;
5) Обратные тригонометрические функции: , , , .
1. Степенные функции
В таблице 2.1 даны некоторые (наиболее часто используемые) функции, описаны основные характеристики и построены их графики ().
Таблица 2.1.
Графики элементарных степенных функций
Степень , вид функции,
основные характеристики
, , характеристики:
, нечетная,
строго возрастающая, неограниченная, график – прямая;
, (частные случаи , ), характеристики: , ,
четная,
строго возрастающая на ,
строго убывающая на , неограниченная,
график – парабола;
,
(частные случаи , ),
характеристики: ,
нечетная,
строго возрастающая;
,
(частные случаи ),
характеристики: , , четная,
строго возрастающая на ,
строго убывающая на , неограниченная.
При неограниченном увеличении переменной (обозначаем как , знак “ ” читается “стремится”) значения функции сколь угодно мало отличаются от числа 0 (обозначаем как ).
Соответственно при неограниченном уменьшении переменной ( ) также . В обоих случая график функции приближается к оси абсцисс, прямая называется горизонтальной асимптотой.
При стремлении переменной к нулю (справа и слева, ) значения функции неограниченно увеличиваются ( ), график функции неограниченно приближается к оси ординат, прямая – вертикальная асимптота.
,
(частные случаи ), , нечетная, строго убывающая, неограниченная, график функции называется гиперболой,
при имеем ,
при имеем ,
прямая горизонтальная асимптота,
при (справа) ,
при (слева) ,
прямая вертикальная асимптота.
,
(частные случаи ),
характеристики: , ,
строго возрастающая,
неограниченная;
при имеем ,
при имеем .
,
(частные случаи ),
характеристики: , , нечетная, строго возрастающая, неограниченная,
при имеем ,
при имеем .
Показательные функции
Показательная функция имеет вид ( ), где число называют основанием. От него зависят характеристики функции и график (см. таблица 2.2). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .
Таблица 2.2.
График функции
Характеристики
Функции
, ,
строго возрастающая на ,
не ограниченная,
при имеем ,
при имеем ,
прямая – горизонтальная асимптота.
, ,
строго убывающая на ,
не ограниченная,
при имеем ,
при имеем ,
прямая – горизонтальная асимптота.
Частным случаем показательной функцией является экспоненциальная функция ( ).
3. Логарифмические функции
Логарифмическая функция имеет вид ( ), где число называют основанием функции. Характеристики функции и ее график зависит от основания (см. таблица 2.3). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .
Таблица 2.3.
График функции
Характеристики
Функции
y
, ,
строго возрастающая на ,
нуль при ,
не ограниченная,
при имеем ,
при (справа) ,
прямая – вертикальная асимптота.
, ,
строго убывающая на ,
нуль при ,
не ограниченная,
при имеем ,
при имеем ,
прямая – вертикальная асимптота.
Частными случаями логарифмической функции являются:
1) логарифмическая функция натурального основания ,
2) логарифмическая функция десятичного основания .
Определение 2.2. Пусть задана функция . Если каждому значению из множества можно поставить в соответствие единственное значение из множества , то для функции задана обратная функция . При этом , и функции , называются взаимно-обратными функциями.
Не для каждой функции на области определения можно найти обратную к ней функцию. Пусть , , . Выражая , получим или , то есть одному значению соответствуют два различных значения , что противоречит определению функции.
Примем без доказательства следующее утверждение (см. рис. 2.1): чтобы у функции на всей области определения существовала обратная функция необходимо и достаточно, чтобы функция на всей области определения была строго монотонной; при этом монотонной будет и обратная функция.
Например, показательная функция
( , )
строго возрастает на (при ). Поэтому для нее существует обратная функция (выражаем ): – логарифмическая функция ( , ).
После замены переменных ( ) получим . Итак, показательная и логарифмическая функции – взаимно-обратные функции.
Если две взаимно-обратные функции зависят от одной переменной , то их графики симметричны относительно прямой (рис.2.1).
Рис. 2.1.
Пример 2.1. Для функции найти обратную функцию.
Решение. Можно проверить, что функция строго возрастает на области определения . Значит, для нее существует обратная функция. Выразим переменную через переменную :
, , , .
Итак, . Обратную функцию запишем от переменной (то есть заменим на , а – на ), получим: . ■