Тригонометрические функции

Тригонометрические функции: , , , . В таблице 2.4 приведены основные характеристики этих функций.

Таблица 2.4.

График функции	Характеристики Функции
-1	1) , , 2) нечетная, 3) периодическая, основной период , 4) не строго монотонная, строго возрастает при , строго убывает при , 5) нули: , , 6) ограниченная, при всех : .
–1	1) , , 2) четная, 3) периодическая, основной период , 4) не строго монотонная, строго возрастает при , строго убывает при , 5) нули: , , 6) ограниченная, при всех : .
	, 1) , , 2) нечетная, 3) периодическая, основной период , 4) строго монотонно возрастает на , 5) нули: , , 6) не ограниченная, 7) прямые ( ) – вертикальные асимптоты.
	, 1) , , 2) нечетная функция, 3) периодическая, основной период , 4) строго монотонно убывает на , 5) нули: , , 6) не ограниченная, 7) прямые ( ) – вертикальные асимптоты.

Обратные тригонометрические функции

Функции , , , являются функциями, обратными к соответствующим тригонометрическим функциям , , , . В таблице 2.5 приведены основные характеристики этих функций.

Таблица 2.5.

	, 1) , , 2) нечетная, 3) строго возрастающая, 4) ограниченная, при всех выполняется . 5) нуль при .
	, 1) , , 2) строго убывающая, 3) ограниченная, при всех выполняется . 4) нуль при .
	, 1) , , 2) нечетная, 3) строго возрастающая, 4) ограниченная, при всех выполняется , 5) нуль при , 6) прямые , – горизонтальные асимптоты.
	, 1) , , 2) строго убывающая, 3) ограниченная, при всех выполняется , 4) прямые , – горизонтальные асимптоты.

Введем некоторые классы функций, необходимые нам в дальнейшем.

Определение 2.3. Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и конечного числа композиций функций.

Так, элементарными являются функции , , .

Часто в прикладных задачах встречаются так называемые кусочно-заданные функции. Они задаются в виде следующей системы

(2.1)

где – элементарные функции, причем . Заметим, что вместо интервалов в (2.1) могут использоваться также отрезки или полуинтервалы (конечные или бесконечные).

Например, или

С помощью степенных функций образуются многочлены (полиномы)

, (2.2)

где числа – коэффициенты, причем коэффициент при старшей степени отличен от нуля. Многочлен (2.2) часто обозначают символом , где число называют степенью многочлена.

Например, многочлен ( ).

Определение 2.3. Рациональной функцией называются отношение двух многочленов

( , ). (2.3)

Например, , и т.д.

4. Построение графиков функций: , , , , , по заданному графику функции

Рассмотрим простейшие приемы построения графиков функций на основании знания графиков основных элементарных функций. Эти приемы основаны на простейших геометрических рассуждениях. Итак, пусть известен график некоторой функции (см. рис. 3.1.а., пунктирная линия). Тогда:

1) график функции есть зеркальное отображение графика функции относительно оси абсцисс (см. рис.3.1.а);

2) график функции есть зеркальное отображение графика функции относительно оси ординат (см. рис.3.1.б);

3) график функции есть смещение графика функции вдоль оси абсцисс на -единиц вправо, если или на – -единиц влево, если (см. рис.3.1.в);

4) график функции есть смещение графика функции вдоль оси ординат на -единиц вверх, если или на – -единиц вниз, если (см. рис.3.1.г);

5) график функции есть сжатие в -раз графика функции вдоль оси абсцисс , если или растяжение в -раз графика функции вдоль оси абсцисс , если ;

На основании приведенных построений можно строить график функции ( ), если известен график .

Пример 1. Построить график функции .

Решение.За основу возьмем график функции (синусоиду , в силу периодичности ограничимся положительными значениями , см. рис.3.2). График функции получается путем сжатия синусоиды вдоль оси абсцисс в два раза. График (жирная линия) исходной функции получаем путем растяжения графика вдоль оси ординат в два раза (см. рис.3.2).

Рис.3.2.

Пример 2. Построить график функции .

Решение.Напомним, что – модуль (абсолютная величина) числа определяется следующим образом:

причем , .

Первоначально находим нули подмодульных выражений: и . Таковыми являются числа , . В соответствии с этим всю числовую ось разбиваем на промежутки , , и на каждом из них согласно определению раскрываем модули .

При имеем , так как ; , так как . Тогда при исходная функция примет вид

( ).

Далее при : , так как ; , так как . Тогда при исходная функция примет вид

( ).

При имеем , так как ; , так как . Тогда при исходная функция примет вид

( ).

Итак, функцию для построения графика удобно записать в кусочно-заданном виде

График этой функции изображен на рисунке 3.3.

Рис.3.3.■

Пример 3. Построить график функции , написать основные характеристики, если известен график функции (см. рис.3.4.а).

Решение. Сначала построим график функции , где При положительных значениях переменной ( ) график функции совпадает с исходным графиком функции (см. рис.3.4.б).
При отрицательных значениях ( , а значит, ) график функции будет получаться симметричным отображением относительно оси ординат части исходного графика функции при . Затем строим график функции , где
Этот график строим так. Часть графика функции , которая соответствует знакоположительным интервалам остается неизменной ( ), а часть, которая соответствует знакоотрицательным интервалам симметрично отображается относительно оси абсцисс ( ) ( рис.3.4.в).

Опишем основные характеристики функции : , (функция знакоположительна, четная, непериодическая, ограниченная). Интервалы возрастания: , интервалы убывания: . Функция имеет следующие нули: , , , . ■

Пример 4. Построить график функции .

Решение. Обозначив , построим график этой функции, а затем, воспользовавшись результатами примера 3.3, построим график исходной функции .

Для построения параболы находятся координаты ее вершины – точки , , . Ветви параболы направлены вверх (вниз) при (соответственно при ). Точки пересечения с осью абсцисс находятся в общем случае из условия (при ).

В нашем случае , , ветви направлены вверх, из условия следует, что парабола пересекает ось абсцисс в точках , . Схематически график изображен на рисунке 3.5.а.	Рис.3.5.а.
Для построения графика исходной функции достаточно ту часть графика функции , которая лежит ниже оси абсцисс симметрично отобразить относительно оси абсцисс (см. рис. 3.5.б). ■	Рис.3.5.б.

Пример 5. Построить график

Решение.Исследуемая функция представлена в кусочно-заданном виде. Построим сначала график функции ( ). Он получается путем параллельного переноса графика основной элементарной функции на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и “отсечением” той части, которая соответствует значениям (см. рис.3.6). Заметим, что .

Рис.3.6.

Далее строим график функции ( ). Для этого определяем вершину параболы, ветви направлены вниз (коэффициент при отрицательный). Заметим, что в точках , функция не определена. При стремлении переменной к числу 1 (слева) значения функции стремятся к числу . При стремлении к числу –2 (справа) значения функции стремятся к числу . На графике это показано стрелками (см. рис.3.6).

График функции ( ) получается путем зеркального отображения относительно оси ординат графика функции , соответствующего сдвига полученного графика на 1 единицу вверх и “отсечением” той части графика, которая соответствует (см. рис. 3.6). Значение функции в точке –2 равно .

Итак, график функции представлен на рисунке 3.6 (график выделен жирными линиями). В дальнейшем функции такого рода будем называть разрывными в точках , . ■

Лекция 3

Поиск по сайту: