Какова физическая природа этих разрывов?

Выразим волновой вектор через длину волны электрона

и запишем условие, при котором функция E(k) терпит разрыв:

или . (4.16)

Последнее выражение представляет собой условие Вульфа — Брэгга для электронной волны, падающей на решетку перпендикулярно атомным плоскостям.

При выполнении этого условия функция Блоха представляет уже не бегущую, а стоячую волну, так как электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) испытывает брэгговское отражение.

Падающая и отраженная волны могут складываться двумя способами, образуя симметричную и антисимметричную комбинации:

(4.17)

( 4.18)

Выражения (4.17) и (4.18) записаны для значений волновых векторов k= / .

Волновая функция не изменяется при замене х на - х, a меняет знак.

Функция является мнимой, однако плотность электрического заряда, связанная с волновой функцией в этом случае, так же как и для представляет собой вещественную отрицательную величину.

Волновым функциям и ₂ соответствуют разные энергии.

· Решению , отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А на рис. 4.7),

· а решению - энергия, соответствующая нижней границе второй зоны (точка ).

· При k< /a электрон обладает энергиями меньшими, чем ,

· а при k> a - энергиями, большими, чем .

· В интервале от до нет ни одного собственного значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой запрещенную зону.

Напомним, что, рассматривая колебания цепочки атомов, мы также пришли к выводу, что при достижении волновым вектором границы зоны Бриллюэна, т. е. k = / , наблюдается отражение упругих и образование стоячих волн. Эти стоячие волны являются результатом сложения двух бегущих волн, распростра­няющихся в противоположных направлениях.

В трехмерном случае зонная структура здесь может быть значительно сложнее, чем в рассмотренной выше одномерной модели. Зависимость Е(k) в трехмерном кристалле может быть различна для разных направлений в зоне Бриллюэна. Это связано с тем, что трехмерный потенциал V(r), зависящий от структуры кристалла, в различных направлениях не одинаков. Следствием этого может быть перекрытие разрешенных зон.

Так, например, запрещенная зона в одном направлении может совпадать с разрешенной зоной в другом направлении. Перекрытие разрешенных зон нельзя получить в одномерном случае.

Поиск по сайту: