 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Энергетический спектр электронов в кристалле. Модель Кронига-Пенни
Для нахождения энергетического спектра электронов в кристалле необходимо решить одноэлектронное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом решетки Некоторые характерные особенности энергетического спектра можно узнать, рассматривая простую одномерную модель периодического потенциала, предложенную Р. Кронигом и В.Пенни.
Прямоугольные потенциальные ямы шириной а чередуются с прямоугольными барьерами шириной b. Период такой решетки Потенциальная энергия представляет собой функцию
Здесь п- любое число ( Решение одноэлектронного уравнения Шредингера для одномерного случая и потенциальной энергии
Здесь Р – степень прозрачности барьера для электрона, т.е. степень связанности электрона в потенциальной яме, В уравнении (4.7) · cos k · замена волнового числа k на –k не меняет уравнения. Это означает, что энергия электрона также является четной функцией k, т.е. На рис.4.2 изображена зависимость левой части уравнения (4.7) от параметра
Ширина этих интервалов зависит - от параметра Р:- чем меньше Р, тем они шире. - от Таким образом, энергия электрона в кристалле не может принимать любого значения. Есть зоны разрешенных и зоны запрещенных энергий.
Рассмотрим, как изменяется энергетический спектр в двух предельных случаях · Случай Из (4.7) получаем и на основании (4.8): Это выражение совпадает с зависимостью E(k) для свободного электрона. Поскольку на k в этом случае никаких ограничений не накладывается, кривая E(k) представляет собой непрерывную параболу. · случай где М= а из (8) Таким образом, при
Попытаемся теперь найти явный вид закона дисперсии E(k)для электрона, движущемся в периодическом поле решетки. Для этого надо решить относительно Е уравнение (4.7). Это можно сделать только приближенно. Допустим, что Р>>1 - это соответствует приближению сильной связи. Для больших Р согласно (4.9) можно записать: где Разлагая левую часть уравнения (4.7) в ряд и ограничиваясь линейными относительно или Подставляя (4.12) в (4.11), находим Учитывая связь между получим выражение, связывающее Е и k: или Здесь обозначено
Первый член в (4.15) представляет собой энергию М-го энергетического уровня электрона в изолированной бесконечно глубокой потенциальной яме, определяемую формулой (4.10). Второй и третий члены связаны действием периодического поля решетки. Видно, что в периодическом поле решетки энергетические уровни опускаются на значение С Третий член в (4.15) определяет зонный характер энергетического спектра, поскольку cos ka ограничивает пределы его изменения.
Здесь наглядно видно, что · для всех k, отличающихся на (2 · Интервал значений k от · два отрезка от
Поэтому зависимость E(k) часто строят только для первой зоны Бриллюэна. Все остальные значения Е могут быть приведены в эту зону. Такой способ изображения E(k) , иллюстрируемый на рис.4.5, получил название схемы приведенных зон .
Кроме этих двух способов изображения энергетических зон используют ещё один способ, получивший название расширенной зонной схемы (рис.4.6). Здесь · различные энергетические зоны размещаются в k-пространстве в различных зонах Бриллюэна. · показана также параболическая зависимость E(k) для свободного электрона. Начало отсчета энергий обеих зависимостей совмещено. Из рис.4. 4 хорошо видно, что · в каждой нечетной энергетической зоне, т. е. в каждой зоне, определяемой числами М=1, 3, 5, ..., имеется - один минимум энергии в центре зоны Бриллюэна - и два эквивалентных максимума на краях зоны Бриллюэна. · В четных энергетических зонах наоборот - максимум энергии в центре каждой зоны Бриллюэна, - минимумы.- на границах. · Разрывы в энергетическом спектре электрона появляются при достижении волновым вектором k значений n
Поиск по сайту: |
. Собственные функции 
и собственные значения энергии 
этого уравнения зависят от вида периодического потенциала.
Зависимость потенциальной энергии V электрона от расстояния х для одномерной решетки в этой модели представлена на рис.4.1.
.
).
приводит к уравнению
. (4.7)
. (4.8)
- функция четная,
являются такие, для которых левая часть уравнения не выходит из указанных пределов. 
рис.4. 3: Чередование разрешенных и запрещенных зон
и 
.
, т.е. почти свободному электрону (приближение слабой связи).
, т.е. 
,
. Это означает, что электрон локализован в бесконечно глубокой яме, т.е. сильно связан (приближение сильной связи). При 
из уравнения (4.7) находим, что 
т.е. 
, (4.9)
. (4.10)
, (4.11)
.
членами, получим 
,
(4.12)
(4.13)
членами при возведении (4.13) в квадрат,
(4.14)
(4.15)
; 
- коэффициент перед 
, в общем случае не равный 
.
(перед С 
На рис.4. 4 показана зависимость E(k) для электрона, находящегося в одномерной решетке.
/ 
до 
представляет собой первую зону Бриллюэна.
до 
- вторую зону Бриллюэна и т.д.
Все возможные значения энергий в каждой энергетической зоне можно получить путем изменения k в пределах первой зоны Бриллюэна.
В отличие от него зависимость, показанную на рис.4.4, называют периодической зонной схемой.