Уравнение Шредингера для твердого тела

Любое твердое тело состоит из атомов, т.е. представляет собой совокупность ядер и электронов. В кристаллических твердых телах ядра атомов располагаются в узлах кристаллической решетки, обладающей пространственной периодичностью.

Стационарные состояния всех частиц описываютсяуравнением Шредингера: , (4.1)

где - гамильтониан всей совокупности частиц,

-собственная волновая функция;

Е - энергия твердого тела.

Обозначим

· ₁, ₂ …- радиус-векторы электронов,

· ₁, ₂ …- радиус-векторы ядер.

Пусть М_к - масса ядра атома вида к , m - масса электрона.

Гамильтониан системы частиц ,

где - оператор кинетической энергии, U – потенциальная энергия системы,

.

Здесь - оператор Лапласа для i –той частицы.

Первое слагаемое представляет собой оператор кинетической энергии электронов,

второе – ядер.

Потенциальная энергия совокупности частиц, составляющих твердое тело - это энергия попарного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами:

Волновая функция зависит от координат всех частиц:

.

Если на эту волновую функцию наложить ограничения, вытекающие из ее физического смысла (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а лишь при некоторых. Эти значения Е являются решением уравнения (4.1) и определяют энергетический спектр твердого тела.

Из-за огромного числа независимых переменных уравнение (4.1) не имеет точного решения. Для описания приближенного решения прибегают к ряду упрощений:

1. Ядра в кристаллах совершают колебания относительно своих положений равновесия. Электроны же участвуют в поступательно – вращательном движении, при этом их скорость много больше скорости ядер. Приближение, учитывающее различный характер движения ядер и электронов, называется адиабатическим приближением (или приближением Борна- Оппенгеймера).

Самое грубое допущение состоит в том, что ядра покоятся.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид:

. (4.2)

Оно описывает движение электронов в поле неподвижных ядер.