Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.

Пример

Найти производную функции: .

;

;

;

.

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев, когда приходится дифференцировать произведение многих сомножителей или частное, в котором и числитель и знаменатель состоят из нескольких сомножителей, а также при нахождении производных от показательно-степенной функции , применяют логарифмическое дифференцирование.

Метод логарифмического дифференцирования заключается в том, что от заданной функции у сначала находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется:

.

Из полученного равенства определяется :

.

Примеры

Найти производные функций:

1. .

;

;

;

;

.

2. .

;

;

;

.

Производные высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка (или первой производной) и представляет собой функцию от х.

Производную от первой производной называют производной второго порядка или второй производной и обозначают , , .

Итак, по определению

.

Вторая производная играет роль ускорения изменения функции.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается , , .

Таким образом,

.

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

.

Число n, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Порядок производной, начиная с четвертого, обозначают римскими цифрами или арабскими цифрами в скобках, например, или и т.д.

Примеры

1. Найти для функции .

;

.

2. Найти для функции .

; ; ; .

Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет производную в каждой точке ее области определения.

Определение.

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х:

или .

Для функции имеем:

, т.е. .

Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

Поиск по сайту: