Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Производная неявной функции



Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.

 

Пример

Найти производную функции: .

;

;

;

.

 

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев, когда приходится дифференцировать произведение многих сомножителей или частное, в котором и числитель и знаменатель состоят из нескольких сомножителей, а также при нахождении производных от показательно-степенной функции , применяют логарифмическое дифференцирование.

Метод логарифмического дифференцирования заключается в том, что от заданной функции у сначала находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется:

.

Из полученного равенства определяется :

.

 


Примеры

Найти производные функций:

1. .

;

;

;

;

.

 

2. .

;

;

;

.

 

Производные высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка (или первой производной) и представляет собой функцию от х.

Производную от первой производной называют производной второго порядка или второй производной и обозначают , , .

Итак, по определению

.

Вторая производная играет роль ускорения изменения функции.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается , , .


Таким образом,

.

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

.

Число n, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Порядок производной, начиная с четвертого, обозначают римскими цифрами или арабскими цифрами в скобках, например, или и т.д.

 

Примеры

1. Найти для функции .

;

.

 

2. Найти для функции .

; ; ; .

 

Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет производную в каждой точке ее области определения.

 

Определение.

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х:

или .

 

Для функции имеем:

, т.е. .


Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.