Определение. Интервал , где , называется окрестностью точки .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если
Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в точке .
Замечание. Неявно мы требуем, чтобы непрерывная в точке функция была бы определена в некоторой окрестности точки
Определение непрерывности функции на множестве
Определение. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Пример 11.1. Из рисунка 3.1 следует, что функция
у= разрывна при х=0, так как не существует (в том смысле, что оно равняется бесконечности). Аналогично из рисунков 3.2 и 3.3 следует, что функции и разрывны при х=0, соответственно при х=2. Указанные в этом примере функции непрерывны во всех точек, в которых они определены.
Пример 11.2.Рассмотрим график функции (рис.11.1):
Рис. 11.1
Если х>0, то Ш= Если х<0, то Ш= При x=0 функция неопределена, что и показано на рис. 11.1. Эта функция разрывна при x=0 и непрерывна при , что и показано на рис. 11.1.
Пример 11.2.На рис. 11.2 построен график :
Рис. 11.2
Эта функция при обращается в ноль. При х, стремящегося к нулю, стремится к 1. При х=0 неопределена, что и показано на рис. 11.2. Функция разрывна при x=0 и непрерывна при .
Пример 11.3. Функция (рис. 11.3) так
Рис. 11.3
же разрывна при x=0 и непрерывна при любом .
Непрерывность справа (слева)
Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если
Аналогично определяется непрерывность слева.
Пример 12.1. Все функции, графики которых указаны на рисунках 11.1, 11.2, 11.3, являются разрывными в точке х=0 как слева, так и справа.
Устранимый разрыв
Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в этой точке.
Определение. Функция имеет устранимый разрыв в точке , если
Теорема. Если функция имеет устранимый разрыв в точке , то, изменив , мы получим новую функцию, непрерывную в точке .
Пример 13.1. На рис. 11.2 мы видим функцию, которая в точке х=0 имеет устранимый разрыв. Если несколько поправить (см. рис. 13.1), то получим
Рис. 13.1.
непрерывную для всех х функцию .
Разрыв первого рода
Определение. Функция имеет разрыв первого рода в точке , если в точке существуют (конечные) пределы слева и справа и
Пример 14.1. На рис. 11.1 дан график функции, которая имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к. предел справа равен 1, предел слева равен -1 и эти пределы разные.
Разрыв второго рода
Определение. Если разрыв не является устранимым разрывом и не является разрывом первого рода, то он называется разрывом второго рода.
Пример 15.1. Функция при х=0 имеет разрыв второго рода, так как не существуют пределы ни справа, ни слева. На рис. 3.1 и 3.2 имеем графики функций с разрывом второго рода при х=0. На рис. 3.3 видим разрыв второго рода при х=2.