Определение. Перенумерованное множество чисел называется последовательностью.
Последовательность можно задать так называемой формулой -го члена Здесь подразумевается, что
Определение. Последовательность стремится к b при , если для любого существует такое , что для всех справедливо неравенство Коротко это можно записать так: , если
Способ 1. Для заданного возьмем . Тогда из неравенства следует . Отсюда Ч.т.д.
Способ 2. В предыдущем способе не понятно, как мы догадались, что в качестве нужно взять . Это следует из цепочки формул: = .
Способ 3. Нестрогое, но наглядное доказательство следует из таблицы:
1,1
1,001
1,000001
1,00000000001
Определение предела функции
Определение. Пусть имеем два множества А и B. Предположим, что каждой точке сопоставлена точка . В этом случае говорят, что задана функция у от х.
Такую функцию обозначают или и так далее.
Примеры: .
Функции можно задать аналитически, графически, таблично.
Частным случаем функции является последовательность
Определение. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а,(обозначается ) если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех х, не совпадающих с а и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так: , если .
Замечание. В определении предела мы неявно предполагаем существование такого , что функция определена при любом .
Пример 2.1. Докажем формулу:
Действительно: Рассмотрим цепочку формул: . Теперь ясно, что для заданного положительного нужно взять , ибо из неравенства последует . Ч.т.д.
Функция, стремящаяся к бесконечности
Определение. Функция стремится к бесконечности при х, стремящегося к а, если
.
Пример 3.1. Докажем
Для этого необходимо доказать Убедимся в следующей цепочке формул: . Поэтому для заданного возьмем . Тогда из неравенства последует . Ч.т.д.
Не строгое, но достаточно наглядное доказательство формулы следует из таблицы
0,1
0.001
0.00001
Пример 3.2. Рассмотрим графики трех функций :
Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3
Из этих рисунков можно догадаться в справедливости формул:
.
Замечание 3.1. Знак означает, что х стремится к 0, оставаясь все время больше нуля. Аналогично, означает, что х стремится к 2, оставаясь все время больше двух.
Замечание 3.2. означает, что В этом можно убедиться из рис. 3.2.
Замечание 3.3. Мы часто будем говорить, что 1/0 не существует в том смысле, что оно равняется бесконечности.
Пример 3.3. Для построения графиков необходимо привлекать современные компьютеры. В этом пособии приведены графики, построенные в Еxcel. Например, график (рис. 3.1) в Еxcel можно построить следующим образом:
1) в ячейку А1 вводим число -2;
2) в ячейке А2 программируем формулу =А1+0,1;
3) содержимое ячейки А2 растягиваем вплоть до ячейки А41; в ячейке А41 появиться число 2;
4) в ячейке В1 программируем =1/А1;
5) содержимое ячейки В1 растягиваем вплоть до ячейки В41;