Свойства функции, стремящейся к бесконечности

Теорема. 1. 2.

Пример 4.1. Докажем или, что одно и то же,

По определению если

Для заданного возьмем . Тогда из неравенства следует Ч.т.д. Не строгое, но понятное рассуждение: если одно яблоко разделить поровну всем студентам «Плешки», то каждый студент ничего не получит.

Пример 4.2. Не строгое, но достаточно наглядное доказательство формулы следует из таблицы:

		-10		-100000
		0,01	0.000001	0,0000000001

хотя можно рассуждать и так: .

Пример 4.3. Очевидно, что Это значит, что отношение зависит в этом примере от .

Определение. Отношение называется неопределенностью. Выражения , , , , также являются неопределенностями.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Величина называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Определение. Величина называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.

Пример 5.1. Величина является бесконечно малой при , бесконечно большой при и бесконечно большой

Замечание 5.1. В предыдущем примере мы написали , хотя мысленно имели в виду Мы так будем делать и дальше. Запись в предыдущем примере также закона, хотя очевидно должно быть .

Свойства бесконечно малых величин

Теорема.

1.Предел равен тогда и только тогда, когда где - бесконечно малая величина.

2.Если является бесконечно малой величиной, то является бесконечно большой.

3.Если ограничена (т.е. и - бесконечно малая, то бесконечно малая.

4.Если и бесконечно малые, то , являются бесконечно малыми.

5.Если ( - константа) и - бесконечно малая, то - бесконечно малая величина.

Основные теоремы о пределах

Теоремы.

1. где

2.Пусть , тогда

3.Если , то .

4.(Теорема о двух милиционерах.)Если и , то

5.Если , то .

Замечание. Желательно знать формулировки этих теорем. Например, предел суммы равен сумме пределов.

Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если справедливо . Последовательность называется монотонно убывающей, если справедливо . Последовательность ограничена, если

6.Любая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Замечания. Знак Ш означает, что мы применяем школьную формулу. Знаками 1, 2, 3 ... мы указываем номера применяемых формул, которые даны в конце этого пособия.

Пример 7.1. = 0,714.

Пример 7.2. =

= = =Ш=

=

Пример 7.3. ; неопределенность =

= Ш= =

Пример 7.4. = = = =1/900=0,00111.

Пример 7.5. =

=

=2= =1=

Первый замечательный предел

Теорема.

, или, что одно и то же,

Пример 8.1. =

= == =4= 1

Пример 8.2. =

=

Пример 8.3. ; Ш=

= обозначим = = 4=

Поиск по сайту: