Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей и . Если при функции и одновременно стремятся к или , то предел отношения равен пределу отношения их производных, т.е.

.

При этом предполагается, что функции и существуют и конечны.

Если же отношение производных также будет представлять случай и , можно снова и снова применять правило Лопиталя.

Если имеются неопределенности типа или , то сначала приводят эти функции к виду дроби, которая представляет неопределенность и , а затем уже используется правило Лопиталя.

Нахождение предела функции в случае неопределенностей вида , , с помощью логарифмирования также сводится сначала к случаям или , затем уже используется правило Лопиталя.

Решение типовых примеров задания 5 РГР

Найти пределы, используя правило Лопиталя. Сравнить результаты с решениями задания 1.

1. .

Решение. Неопределенность вида . Используем правило Лопиталя.

.

2. . Неопределенность вида .

Решение.

.

3. . Неопределенность вида .

Решение.

= .

4. . Неопределенностьвида .

Решение.

.

5. . Неопределенностьвида .

Решение.

.

6. .

Решение. Неопределенностьвида . Прологарифмируем данную функцию сведем неопределенность к виду и применим правило Лопиталя

;

.

Отсюда ; .

Ответы совпадают с результатами решения примеров задания 1.

2.7. Геометрический смысл производной

Пусть функция

определена в интервале и пусть точка на графике функции соответствует значе-нию аргумента , а точка значению (рис. 2.1).

Проведем через точки и секущую. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от .

Если существует предел , то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку называют предельным положением секущей при .

Из находим

. (2.2)

Существование конечного предела в уравнении (1.8) эквивалентно существованию конечной производной.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке или тангенс угла ,который образует касательная к кривой в данной точке с положительным направлением оси , - это производная в этой точке.

. (2.3)

В этом заключается геометрический смысл производной.

Найдем уравнение касательной. Из аналитической геометрии известно, что, если прямая проходит через точку в направлении, которое определяется угловым коэффициентом , то уравнение этой прямой можно записать в виде

. (2.4)

Учитывая, что , уравнение (1.9) можно записать в виде

. (2.5)

Уравнение (2.5) называется уравнением касательной к кривой в точке .

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно к касательной.

Поскольку угловые коэффициенты касательной и нормали связаны между собой условием перпендикулярности, то уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

. (2.6)

Поиск по сайту: