1. Сравнительный анализ чёткого и не чёткого множеств
Определение и примеры чётких множеств
Чёткое множество – совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
X = {x}, x Є X
Операции над чёткими множествами:
- пересечение:
- объединение:
- разность (дополнение):
- декартово произведение:
Пусть множество цифр E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, тогда подмножество чётных цифр можно определить как: A = {0, 2, 4, 6, 8}.
Пусть множество фамилий E = {Иванов, Петров, Аносов, Кузнецов, Анискин, Афанасьев, Сергеев}, тогда подмножество фамилий, начинающихся на букву “А” можно определить:
A = {Аносов, Анискин, Афанасьев}.
Определение и примеры нечётких множеств
Универсальное множество – множество, содержащие все мыслимые объекты.
Нечёткое множество A – математический объект, представляющий собой множество, принадлежность к которому представляет собой не отношение, а функцию; совокупность универсального множества X и характеристической функции μA(x), которая характеризует степень принадлежности элемента x нечёткому множеству.
Функция μA(x) принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве принадлежностей M. Часто в качестве M выбирается отрезок [0, 1]. Если M = {0, 1}, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.
Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 соответствует полной принадлежности элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.
Операции над нечёткими множествами:
- пересечение:
- объединение:
- сумма:
- произведение:
Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый" можно определить: Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено:m"молодой"(x) = . Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности m"молодой"(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст),называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:m"молодой"(Сидоров):= m"молодой"(x), где x - возраст Сидорова.
Сходства чётких и нечётких множеств
Чёткие и нечёткие множества имеют одинаковую иерархию: они делятся на подмножества, множества и надмножества. Чёткие и нечёткие множества имеют одинаковые типы операций (Пересечение, объединение, произведение), производимые над ними.
Чёткое множество является частным случаем нечёткого, а понятие нечёткого множества является расширенным понятием, охватывающим и понятие чёткого множества.