ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПОРИСТЫЕ ФИГУРЫ

(Автор — Владимир Шибинский)

Рассмотрим симметричные фигуры, которые имеют одно или несколько сквозных отверстий. Назовём такие фигуры пористыми.

При композиции пористых фигур встают две задачи на экстремум, в некотором смысле противоположные. Либо, строя фигуры с одним отверстием, сделать это отверстие максимальным по площади, либо увеличить до максимума число отверстий. Примеры первых — фигуры 3 и 4, вторых — фигуры 1, 2, 5-9. Но сначала уточним понятие сквозного отверстия, обратившись к фигурам 1 и 2.

Если у фигуры 1 все четыре отверстия отделены друг от друга кубиками, то у фигуры 2 — только рёбрами кубиков. Если фигуры рассматривать как открытые множества (не включать в состав фигур точки их границы — поверхности), то у фигуры 2 отверстий нет. Они не отделены друг от друга и выходят за пределы фигуры. Если допустить, что фигуры — замкнутые множества (включают в себя поверхность), то у фигуры 2 четыре отверстия. С точки зрения композиции целесообразно принять вторую точку зрения и назвать отверстия фигур 1 и 2 отверстиями первого и второго рода соответственно. Тем самым мы удваиваем число задач композиции экстремальных пористых фигур, не допуская и допуская у фигур отверстия второго рода.

В данной подборке фигур рекордными значениями служат: максимальная площадь отверстия — шестнадцать граней кубиков (фигура 3) и пять отверстий (фигуры 6-9). У фигур 1-4 число и площади отверстий очевидны, но у фигур 5-9 число отверстий определяется нетривиально.

Фигура 5 получается из куба 3х3х3 переносом вовне его центрального кубика и центральных кубиков четырёх граней (кроме нижней и задней). Фигуры 6-9 отличаются дополнительным переносом вовне ещё и центральных кубиков нижней и задней граней. Фигуры 6-9, таким образом, состоят из каркаса куба, то есть из 20 кубиков, расположенных по его рёбрам и в вершинах, и 7 кубиков, симметрично размещённых вне каркаса. Для примера приводим на рисунке структуру фигуры 6.

Сколько отверстий у фигур 6-9? Кажется, что их три (они проходят между центрами противоположных граней), с другой стороны отверстия проходят между центрами любой пары граней и в этом смысле их 6х5/2=15. Корректен топологический подход: любая собранная по правилам фигура топологически эквивалентна (гомеоморфна) шару, если у неё нет отверстий, или шару с n0 ручками, если у неё n0 отверстий. Напомним, что гомеоморфизм — это взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение. Нетрудно установить, что фигуры 6-9 топологически эквивалентны шару с пятью ручками. Переход путём непрерывной деформации (а это разновидность гомеоморфизма) от любой из фигур 6-9 до шара с пятью ручками показан на рисунке.

Получаем куб с отверстиями (каркас куба). Затем — тор с четырьмя радиально расположенными отверстиями. Выворачиваем его в направлении стрелок, делая отверстия параллельными, получаем шар с пятью отверстиями. И, наконец, переносим отверстия, размещая их в пяти ручках. Аналогично устанавливается, что у фигуры 5 три отверстия.

Фигура № 4 — максимально возможная симметричная «развёртка» кубика ЗхЗхЗ.

* * *

МОЯ КОЛЛЕКЦИЯ

КЛАССИКА

Изготовлен самостоятельно. Токарный станок, ручная доводка. Материал: прозрачный плексиглас. Размер собранного куба 54х54х54 мм.

Благодаря прозрачности материала и большим фаскам на рёбрах кубиков, собранный куб и фигуры смотрятся довольно оригинально.

ШАХМАТНЫЙ КУБ

Куплен в магазине в середине 80-х. Цену не помню. Доводка заключалась в отрывании лишних наклеек, согласно схеме Виктора Дымского. Материал: винил. Размер собранного куба 60х60х60 мм.

Винил от времени местами пожелтел. Все попытки убрать желтизну были безрезультатны. Между собой кубики склеены довольно топорно, строго прямой угол не соблюден.

ИГРАЛЬНАЯ КОСТЬ

Изготовлен самостоятельно. Токарный станок, ручная доводка. Материал: текстолит, фторопласт. Размер собранного куба 45х45х45 мм. Разметка куба — по схеме Ирины Новичковой.

При изготовлении были сомнения: делать или нет фаски на гранях кубиков. Все-таки решил сделать небольшие фаски.

Поиск по сайту: